Определение точки пересечения прямой с плоскостью

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.

Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)

Рис.70

1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π₂, l '' f_оβ, f_оβ – собирающий след, h_оβ х (рис.71).

Рис.71

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М'=h_оα∩ h_оβ, N''= f_оβ∩ f_оα (рис.72).

Рис.72

3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К'=М'N'∩l ', К'' – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К' и l ''.

4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.

Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).

При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а.

Рис.73

Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).

Рис.74

Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π₁. l ' h_оβ, h_оβ – собирающий след, f_оβ х (рис.75).

Рис.75

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М'=А'С'∩ hоβ М'' А''С'' и N'=В'С'∩ hоβ N'' В''С'' (рис. 76).

3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К''= М''N''∩l''. К' находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К'' и М'N'.

4. Определяем видимость прямой относительно Δ АВС с помощью конкурирующих точек.

Определяем видимость относительно плоскости π₂. Отметим фронтальную проекцию 1'' совпадающую с 2''. Горизонтальную проекцию 2' отметим на А'С', а 1' на l'. Горизонтальная проекция 1' лежит перед 2', следовательно, фронтальная проекция 2'' не видима относительно π₂. Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π₂, следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2'' до К'' видима, в точке К'' видимость меняется на противоположную.

Определим видимость прямой l относительно плоскости π₁. Отметим горизонтальную проекцию 3', совпадающую с горизонтальной проекцией М'. М'' А''С'' уже отмечена, 3'' l' '. Фронтальная проекция М'' лежит выше фронтальной проекции 3'', следовательно, точка М видима относительно π₁. Точка 3 лежит на l, следовательно, от М'≡3' до К', горизонтальная проекция l' невидима. В горизонтальной проекции К' видимость меняется на противоположную. За границами Δ АВС прямая l везде видима.

Рис.76