Метрические задачи с применением методов преобразования проекций

Эти задачи можно классифицировать на определение расстояний, определение углов, определение истинных величин плоских фигур. Часть задач мы уже рассмотрели при изучении методов преобразования.

Пример 1. Определить расстояния от точки А до прямой l (рис.97).

Рис.97

Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

1. На эпюре проекции перпендикуляра к прямой можно построить, если прямая параллельна плоскости проекций. Поэтому сначала строим дополнительную ортогональную проекцию прямой и точки А на плоскости π₄, параллельной прямой l и перпендикулярной к π₁. При этом ось Х₁ параллельна l′.

Для построения дополнительной проекции прямой l на ней отмечены точки 1 и 2 (рис.98).

2. Проводим дополнительную проекцию А^IVK^IV перпендикуляра (А^IVK^IV l^IV), а затем строим горизонтальную проекцию А′К ′. Построена также и фронтальная А′′К′′ проекция перпендикуляра АК.

По двум данным проекциям отрезка АК (А′К′ и А^IVK^IV) находим его длину, построив дополнительную ортогональную проекцию отрезка на плоскости π₅, параллельной АК и перпендикулярной к π₄ (рис. 99).

Аналогично можно определить расстояние между двумя параллельными прямыми.

Пример 2. Определить расстояние от точки А до плоскости α(Δ ВСD) (рис.100).

Рис.98 Рис.99

Рис.100

Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если плоскость является проецирующей, то перпендикуляр к ней параллелен плоскости проекций, и длина проекции его отрезка на этой плоскости проекций равна искомому расстоянию. Исходя из этого построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α и точки А на плоскости π4, перпендикулярной к плоскости α и к плоскости π1.

1. Плоскость π₄ будет перпендикулярна к плоскости α, если она перпендикулярна к горизонтали этой плоскости. При этом ось х₁ перпендикулярна к горизонтальной проекции h′ горизонтали h плоскости α. Дополнительной ортогональной проекцией плоскости α на плоскость π₄ является прямая B^IVC^IVD^IV (рис.101).

Рис.101

Из точки А^IV опускаем перпендикуляр А^IVK^IV на прямую B^IVC^IVD^IV. Длина отрезка А^IVK^IV равна расстоянию от точки А до плоскости α(Δ BCD) (рис.102). Построим проекции отрезка АК. Горизонтальная проекция А′К′ параллельна оси х₁, так как отрезок АК параллелен плоскости π₄, и перпендикулярна к горизонтальной проекции h′ горизонтали h плоскости α. Фронтальную проекцию К′′ точки К строим по двум ее проекциям К′ и K^IV.

На основании решения рассмотренной задачи можно определить расстояние между параллельными прямой и плоскостью, между двумя параллельными плоскостями.

Рис.102

Пример3. Найти расстояние между параллельными плоскостями.

Решение задачи на определение расстояния между двумя плоскостями сводится к построению перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую.

Рис.103

Преобразуем плоскости общего положения α и γ в плоскости проецирующие. В нашем примере во фронтально-проецирующие. Новую ось X₁ проводим _┴горизонтальным следам h_0α и h_0γ. Для построения новых фронтальных следов используем произвольную точку M на одном из фронтальных следов. На плоскости π4 опускаем перпендикуляр. Это и будет истинная величина расстояния между плоскостями α и γ. Строим горизонтальную и фронтальную проекцию перпендикуляра, зная, что горизонтальная проекция перпендикуляра M’N ’ перпендикулярна горизонтальному следу плоскости, а фронтальная M”N”- фронтальному следу плоскости.