Классификация многогранников

Многогранник – это замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многоугольниками (частями пересекающихся плоскостей).

Выпуклые многоугольники – это такие многоугольники, у которых все вершины и ребра находятся по одну сторону любой из их граней.

Наибольший интерес представляют призмы, пирамиды и правильные выпуклые многоугольники – тела Платона.

Призма – это многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники (основания призмы) со взаимно параллельными сторонами, все другие грани – параллелограммы (или прямоугольники).

Пирамида – это многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

Тела Платона – это многогранники, все грани которых представляют собой правильные и равные многоугольники. Углы при вершинах таких многоугольников равны между собой. Существует 5 типов правильных многогранников: гексаэдр (куб) – 6 квадратов; тетраэдр; октаэдр; икосаэдр – 4, 8 и 20 правильных треугольников; додекаэдр – 12 правильных пятиугольников.

6.1.2. Некоторые позиционные задачи на пересечение
многогранника с прямой и плоскостью

Плоскость пересекает многогранную поверхность по плоской замкнутой ломаной линии, называемой фигурой сечения. Вершины и стороны фигуры сечения определяются пересечением заданной плоскости соответственно с рёбрами и гранями многоугольника. То есть многократно решается задача или на пересечение двух плоскостей (граней многогранника с секущей плоскостью), или на пересечение прямой с плоскостью (рёбер многогранника с секущей плоскостью). Это уже известные задачи.

Пример 1.Дана треугольная наклонная пирамида и секущая фронтально проецирующая плоскость å (рис. 6.1). Определить проекции фигуры сечения.

Решение.Так как секущая плоскость является фронтально проецирующей, то фронтальная проекция фигуры сечения (1₂ 2₂ 3₂) совпадет со следом плоскости å ₂. Фигура сечения является треугольником и определяется на пересечении следа плоскости с соответствующими ребрами пирамиды. По линиям связи определяются горизонтальные проекции вершин треугольника (1₁ 2₁ 3₁) на соответствующих ребрах пирамиды. Далее определяется видимость звеньев линии сечения в зависимости от видимости граней пирамиды на горизонтальной проекции.

Пример 2.Дана прямая треугольная призма и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.2). Определить проекции фигуры сечения.

Решение. Так как боковые грани призмы являются горизонтально проецирующими плоскостями, то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е. (А ₁ В ₁ С ₁) º (1₁2₁3₁). Решение задачи сводится к определению второй проекции точек сечения, принадлежащих и плоскости Т и призме.

Для этого воспользуемся фронталями плоскости ¦, проведенными через соответствующие точки 1₁ º В ₁, 2₁ º А ₁, 3₁ º С ₁. Фронтальную проекцию фигуры сечения (1₂ 2₂ 3₂) определяем на пересечении фронтальных проекций фронталей с соответствующими рёбрами призмы.

Определяем видимость звеньев линии сечения.

Пример 3. Дана прямоугольная пирамида и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.3). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.3

Решение. Ребра и грани пирамиды являются геометрическими объектами общего положения. Определим точки фигуры пересечения, решая несколько раз задачу на пересечение прямой с плоскостью (ребрá пирамиды с секущей плоскостью). Для этого заключаем последовательно каждое ребро во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость: ребро АS – в плоскость D (D₂ º А ₂ S ₂), ребро ВS – в плоскость l (l₂ º В ₂ S ₂), ребро СS – в плоскость å (å₂ º С ₂ S ₂). Определяем линию пересечения каждой вспомогательной плоскости с секущей плоскостью – линии (1₁2₁), (3₁4₁), (5₁6₁). На пересечении линий пересечения и проекций соответствующих ребер определяем искомые точки фигуры сечения (D ₁ E ₁ F ₁), (D ₂ E ₂ F ₂).

Пример 4. Дана прямоугольная пирамида и прямая общего положения l (рис. 6.4). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Решение. Так как прямая l является прямой общего положения, задача решается аналогично задаче нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Заключаем прямую l во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость å (å₂ º l ₂). Строим сечение пирамиды вспомогательной плоскостью å (аналогично задаче 1, рис. 6.1). На пересечении горизонтальной проекции прямой l ₁ c контуром сечения (1₁2₁3₁) находим искомые точки D и E. Определяем видимость прямой относительно точек пересечения с пирамидой.