Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей рассмотрим на примере. На рис. 5.1 дана точка А в системе плоскостей проекций p₁ / p₂. Заменим одну из них, например p₂, другой вертикальной плоскостью p₄ ^ p₁, т. е. перейдём к новой системе плоскостей проекций p₄ / p₁. Определим новую фронтальную проекцию точки А ₄, используя для этого неизменность координаты Z точки А, так как горизонтальная плоскость проекций p₁ является общей для исходной и новой систем. На эпюре из горизонтальной проекции А ₁ проведём линию связи, перпендикулярную к новой оси x ₁₄, и отложим координату Z точки А.

Рис. 5.1. Способ замены плоскостей проекций

Способом замены плоскостей определяют натуральную величину прямой и плоскости, определяют расстояние между прямыми, плоскостями и т.д. При решении задач приходится менять последовательно либо одну, либо две плоскости проекций так, чтобы геометрические объекты оказались в частном положении относительно новой системы.

Рассмотрим задачи на преобразование прямой и плоскости.

Пример 1. Дана прямая АВ общего положения (рис. 5.2). Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую.

Рис. 5.2

Решение. Прямую общего положения можно преобразовать в проецирующую прямую только двумя последовательными заменами плоскостей проекций, так как плоскость проекций, перпендикулярная к прямой общего положения, не будет перпендикулярна ни к p₁, ни к p₂. Первоначально заменим плоскость проекций p₂ на p₄ (^ p₁) параллельно прямой АВ, новая ось проекций x ₁₄ || А ₁ В ₁. Построим новую фронтальную проекцию А ₄ В ₄, отложив неизменную координату Z. Прямая АВ преобразована в новой системе p₁ / p₄ во фронталь, А ₄ В ₄ – натуральная величина отрезка прямой, а угол a – угол наклона прямой к плоскости проекций p₁. Затем заменим плоскость проекций p₁ на p₅ (^ p₄) перпендикулярно прямой АВ, новая ось проекций x ₄₅ ^ А ₄ В ₄. Построим новую горизонтальную проекцию А ₅ В ₅, отложив неизменную координату Y. Прямая АВ обращается в точку A ₅ º B ₅ и является горизонтально проецирующей прямой в новой системе плоскостей p₄ / p₅.

Пример 2. Даны две параллельные прямые линии АВ и СD (рис. 5.3). Определить расстояние между ними.

Решение. Чтобы определить расстояние между параллельными прямыми, необходимо преобразовать их в проецирующие прямые. Этого можно добиться двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Первая замена плоскости проекций p₁ на p₅ – параллельно данным прямым, новая ось проекций х ₂₅ || С ₂ D ₂ || А ₂ В ₂. Прямые АВ и СD преобразованы в новой системе плоскостей проекций p₂ / p₅ в горизонтали. Вторая замена плоскости проекций p₂ на p₄ – перпендикулярно прямым АВ и СD, новая ось проекций x ₄₅ ^ С ₅ D ₅ ^ (А ₅ В ₅). На новую фронтальную плоскость p₄ прямые АВ и СD проецируются в точки А ₄ = В ₄ , С ₄ = D ₄. Измеряем расстояние между точками.

Пример 3. Дана плоскость, заданная треугольником АВС общего положения (рис. 5.4). Определить натуральную величину треугольника АВС.

Рис. 5.4

Решение. Чтобы определить натуральную величину плоскости, необходимо расположить её параллельно плоскости проекций. Плоскость общего положения невозможно сразу преобразовать в плоскость уровня, так как параллельная ей новая плоскость проекции не будет перпендикулярна ни к p₁, ни к p₂. Поэтому необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций, преобразовав данную плоскость сначала в проецирующую, а затем в плоскость уровня.

Заменим плоскость проекций p₂ на p₄ перпендикулярно треугольнику АВС. Чтобы определить направление p₄, проведём в треугольнике АВС горизонталь h. Новая плоскость проекций p₄ будет перпендикулярна горизонтали, новая ось проекций x ₁₄ ^ h ₁. На линии связи откладываем неизменные координаты Z_A, Z_B, Z_C. Новая фронтальная проекция A ₄ B ₄ C ₄ в системе плоскостей p₁/p₄ представляет собой прямую линию, плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую.

Затем заменим плоскость проекций p₁ на плоскость p₅ параллельно треугольнику АВС, новая ось проекций x ₄₅ || А ₄ В ₄ С ₄, неизменной остаётся координата Y. В новой системе плоскостей p₄ / p₅ треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня. Новая горизонтальная проекция А ₅ В ₅ С ₅ – натуральная величина треугольника АВС.