Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие определенное число, называемое ее определителем и обозначаемое символом или в развернутом виде:
.
Числа называют элементами определителя.
Минором элемента называется определитель, полученный из исходного, путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент . Минор элемента обозначается .
Определителем порядка называют сумму произведений элементов первой строки на их соответствующие миноры
(4.1).
Величину называют алгебраическим дополнением элемента . Справедливо равенство
(4.2).
Равенство (4.2) называют разложением определителя по -ому столбцу или по -ой строке.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.
Справедливо утверждение: всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу .
Обратную матрицу находят по формуле: , где - алгебраические дополнения элементов матрицы , причем алгебраические дополнения элементов строки матрицы записываются в соответствующий столбец матрицы .
|
|
Пример 8. Найти обратную матрицу матрицы и сделать проверку.
Решение. Вычислим определитель матрицы :
.
Найдем алгебраические дополнения:
Запишем обратную матрицу:
.
Сделаем проверку. Найдем .