2015-04-12
5174
Министерство образования и науки Российской Федерации
Челябинский государственный университет
Математический факультет
Кафедра вычислительной механики и информационных технологий
ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Тема I. Индексные обозначения тензоров.
Развитие науки привело к необходимости введения более сложного понятия, чем скалярная величина или вектор. Новый математический объект тензор объединяет такие понятия как скаляр и вектор. Скалярная величина – это тензор нулевого ранга, вектор – это тензор первого ранга.
Индексная запись тензора – это компактная и наиболее удобная форма его записи. Сформулируем правило суммирования для индексной формы записи тензора.
Один и тот же индекс у тензора может встретиться один раз или дважды. Неповторяющийся индекс называется свободным, число свободных индексов определяет ранг тензора. Индекс, встречающийся дважды (повторяющийся индекс), является индексом суммирования, знак суммы не пишется, а подразумевается. Каждый буквенный индекс тензора может принимать значения 1, 2, …, N, где N – размерность индекса. Не теряя общности, будем в дальнейшем считать, что N=3.
Примеры записи тензоров в индексной форме:
1) 
– тензоры нулевого ранга не имеют свободных индексов и определяются одним числом;
2) 
– тензоры первого ранга имеют один свободный индекс, и определяются упорядоченным набором из трех чисел (размерность индекса равна трем);
3) 
– тензоры второго ранга имеет два свободных индекса, и определяются девятью числами;
4) 
– тензоры третьего ранга, имеет три свободных индекса, и определяется 27-ю числами;
5) и т.д.
Задача 1. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:
Решение. 1) Это тензор нулевого ранга, т.е. скалярная величина, ее определяет одно число:
2) Это тензор первого ранга. Один свободный индекс i определяет ранг этого тензора. Повторяющийся индекс j является индексом суммирования. Распишем тензор первого ранга как вектор:
3) Это тензор нулевого ранга, т.е. скалярная величина. Повторяющиеся индексы i и j являются индексами суммирования. Раскроем последовательно сумму сначала по индексу i, а затем по индексу j:
Задача 2. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:
где 
– символ Кронекера.
Решение. 
это тензор нулевого ранга.
это тензор нулевогоранга.
это тензор второго ранга, состоит из 9-ти компонент.
Раскрывая индексное выражение, получим 
Это тензор первого ранга, окончательно запишем результат, которым будем пользоваться в дальнейшем
Задача 3. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:
То есть имеем 
Решение. 
Можно показать, что это индексная запись векторного произведения векторов в декартовой системе координат, где
Эта индексная запись соответствует смешанному произведению векторов: 
