Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Тема I. Индексные обозначения тензоров




Министерство образования и науки Российской Федерации

Челябинский государственный университет

Математический факультет

Кафедра вычислительной механики и информационных технологий

ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Методические указания

 
Челябинск 2015

 


Тема I. Индексные обозначения тензоров.

Развитие науки привело к необходимости введения более сложного понятия, чем скалярная величина или вектор. Новый математический объект тензор объединяет такие понятия как скаляр и вектор. Скалярная величина – это тензор нулевого ранга, вектор – это тензор первого ранга.

Индексная запись тензора – это компактная и наиболее удобная форма его записи. Сформулируем правило суммирования для индексной формы записи тензора.

Один и тот же индекс у тензора может встретиться один раз или дважды. Неповторяющийся индекс называется свободным, число свободных индексов определяет ранг тензора. Индекс, встречающийся дважды (повторяющийся индекс), является индексом суммирования, знак суммы не пишется, а подразумевается. Каждый буквенный индекс тензора может принимать значения 1, 2, … , N, где N – размерность индекса. Не теряя общности, будем в дальнейшем считать, что N=3.

Примеры записи тензоров в индексной форме:

1) – тензоры нулевого ранга не имеют свободных индексов и определяются одним числом;

2) – тензоры первого ранга имеют один свободный индекс, и определяются упорядоченным набором из трех чисел (размерность индекса равна трем);

3) – тензоры второго ранга имеет два свободных индекса, и определяются девятью числами;

4) – тензоры третьего ранга, имеет три свободных индекса, и определяется 27-ю числами;

5) и т.д.

Задача 1. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:

Решение. 1) Это тензор нулевого ранга, т.е. скалярная величина, ее определяет одно число:

2) Это тензор первого ранга. Один свободный индекс i определяет ранг этого тензора. Повторяющийся индекс j является индексом суммирования. Распишем тензор первого ранга как вектор:

3) Это тензор нулевого ранга, т.е. скалярная величина. Повторяющиеся индексы i и j являются индексами суммирования. Раскроем последовательно сумму сначала по индексу i, а затем по индексу j:

Задача 2. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:

где – символ Кронекера.

Решение. это тензор нулевого ранга.

это тензор нулевогоранга.

это тензор второго ранга, состоит из 9-ти компонент.

Раскрывая индексное выражение, получим




Это тензор первого ранга, окончательно запишем результат, которым будем пользоваться в дальнейшем

Задача 3. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:

То есть имеем

Решение.

Можно показать, что это индексная запись векторного произведения векторов в декартовой системе координат, где

Эта индексная запись соответствует смешанному произведению векторов:





Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 1746; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9080 - | 7290 - или читать все...

Читайте также:

 

54.91.71.108 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.002 сек.