double arrow
II. Цилиндрическая система координат

1) Введем цилиндрические координаты:

2) Определим векторы локального базиса в точке :

Рис. 3.

3) Построим локальный базис в точке М (Рис. 3), для этого проведем через эту точку координатные линии цилиндрической системы координат. Вдоль координатной линии изменяется только одна координата. Поэтому фиксируем две координаты и проводим координатную линию третьей координаты. В точке М строим векторы локального базиса, которые являются касательными векторами к координатным линиям. Базисные векторы направлены в сторону возрастания соответствующей координаты. Длины векторов локального базиса, определяются их модулями.

Построим локальные базисы в точках М1(2; 3π/2; 4), М2(2; π; 0), рис. 4.

Рис. 4

III. Сферическая система координат

1) Введем сферические координаты:


Рис. 5

2) Определим векторы локального базиса в точке :

т.к.

3) Построим локальный базис в точке М, для этого проведем через эту точку координатные линии сферической системы координат. Вдоль координатной линии изменяется только одна координата. Поэтому фиксируем две координаты и проводим координатную линию третьей координаты. В точке М строим векторы локального базиса, которые являются касательными векторами к координатным линиям. Базисные векторы направлены в сторону возрастания соответствующей координаты. Длины векторов локального базиса, определяются их модулями.

Построим локальные базисы в точках М1(3; π/6; π/4), М2(3; π/2; 3π/2).
Рис. 6.




Рис. 7

IV. Тороидальная система координат.

Эту систему координат изучите самостоятельно.

Тема III: Взаимный базис, ковариантные и контравариантные
компоненты вектора.

Основные формулы:

– определение взаимного базиса ri

– фундаментальная матрица.