Вопрос 49

Рассмотрим плоскую линию, определяемую уравнением y = ƒ(x). Проведём касательную к этой линии в точке M₀(x₀, y₀); обозначим через α угол, образованный касательной с осью Ox.
Пусть касательная в точке M образует с осью Ox угол α + Δα.
Угол Δα между касательными в указанных точках называют углом смежности. Можно сказать, что при переходе из точки M₀ в точку M данной линии касательная к ней повернулась на угол Δα, которому будем приписывать соответствующий знак в зависимости от направления поворота.
Средней кривизной <k> дуги данной линии называется абсолютное значение отношения угла смежности Δα к длине Δℓ дуги : <k> = |Δα/Δℓ|.

Кривизной линии в данной точке M₀ называется предел средней кривизны дуги при M → M₀:
.
Отметим, что для прямой k = 0, а для окружности радиуса R кривизна k = 1/R.
Кривизна линии, заданной уравнением y = ƒ(x), в точке M(x, y) вычисляется по формуле:
k = |y″|/√(1 + y′²)³
Если линия задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), то формула принимает вид:
k = |x′·y″ − x″·y′|/√(x′² + y′²)³
Кривизна линии, заданной уравнением ϱ = ϱ(φ) в полярных координатах, вычисляется по формуле:
k = |ϱ² + 2·ϱ′² − ϱ·ϱ″|/√(ϱ′² + ϱ²)³

Пример 1
Найти кривизну косинусоиды y = cos x в точке M(0, 1).

Поскольку y′ = −sin x, y″ = −cos x, кривизна косинусоиды в её произвольной точке определяется формулой
k = |cos x|/√(1 + sin²x)³
При x = 0 получаем k = 1/√1³ = 1.

Пример 2
Найти кривизну линии, заданной в полярных координатах
ϱ = a·(1 + cos φ) = 2·a·cos²(½ φ)

Данное уравнение определяет кардиоиду.
Кардиоида — линия, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по окружности с таким же радиусом.