Вычисление угла между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Угол между плоскостями Ах + By + Cz + D = 0 и

А ₁ x + В ₁ у + C ₁ z + D₁ = 0 вычисляется по формуле:

,

так как он равен углу между нормальными векторами этих плоскостей.

Эти две плоскости параллельны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда параллельны (перпендикулярны) их

нормальные векторы. Поэтому

-

условие параллельности плоскостей, а

АА₁ + ВВ₁ + СС₁ = 0 –

условие перпендикулярности плоскостей.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Мо (3; -2; 1) параллельно плоскости 2х + у + Зz = 0.

Решение. У параллельных плоскостей можно взять одинаковые нормальные векторы. Поэтому 2 (х-3) + (у+2) + 3(z-l) = 0, или 2x + y + 3z - 7 = 0 - уравнение искомой плоскости.