Матрицы и определители. Матрица — математический объект, записываемый в прямоугольной таблице размером , в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного

Матрица — математический объект, записываемый в прямоугольной таблице размером , в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного (основного) поля (в наиболее общем случае — ассоциативного кольца^[28]) — это могут быть целые, вещественные или комплексные числа,векторы, рациональные функции — в зависимости от приложений и задач:

Для матриц используется также сокращённая запись , но обычно с матрицами оперируют как с едиными объектами: над матрицами определены сложение иумножение, также матрицу можно умножить на скаляр — элемент основного поля, относительно этих операций образуют векторное пространство^[⇨] над основным полем (или, в наиболее общем случае — модуль над кольцом). Другие операции над матрицами — транспонирование (замена строк на столбцы) ипсевдообращение (обобщение обращения квадратных матриц). Матрицы размера и называются вектор-строка и вектор-столбец соответственно.

Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной, в зависимости от содержания они могут быть диагональными (все элементы — нули основного поля, кроме диагональных: ), единичными (все диагональные элементы равны единице основного поля, а остальные — нулю), симметричными(все элементы симметричны относительно главной диагонали: ), кососимметричными (), треугольными (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю), ортогональными. Среди квадратных матриц вводится отношение подобия (), где — матрица, обратная ), такие характеристики матриц, как ранг (максимальное количество линейно независимых строк или столбцов) и характеристический многочлен инвариантны относительно подобия^[29]. Также одинаковы для подобных прямоугольных матриц такие характеристики, как след (взятие суммы элементов главной диагонали) и определитель.

Определитель — многочлен, комбинирующий элементы прямоугольной матрицы особым способом, благодаря которому независимо от транспонирования и линейных комбинаций строк или столбцов характеризуется содержание матрицы; в частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы — определитель равен нулю. Квадратные матрицы, определитель которых равен нулю называются вырожденными, для них не определено обращение; если определитель отличен от нуля — то матрица называется невырожденной. Определитель играет ключевую роль в решении систем линейных уравнений в общем виде, на его базе вводятся понятия минора, дополнительного минора, алгебраического дополнения^[30].