Собственные векторы и собственные числа

Синие и сиреневые векторы, сохраняющие направление при линейном преобразовании — собственные, красные — нет

В общем случае действие линейных отображений может быть довольно сложным. Важной и распространённой задачей является нахождение такого базиса векторного пространства , в котором матрица данного линейного отображения имеет наиболее простой вид. При решении этой задачи ключевую роль играют инвариантные подпространствалинейного отображения — подпространства, образ которых при отображении вложен в себя. Если найдены инвариантные подпространства ненулевой размерности (то есть, выполнено ), прямая суммакоторых составляет всё пространство , то матрица отображения имеет блочно-диагональный вид с блоками порядков , на главной диагонали, если выбрать базис состоящим из групп векторов, где -ая группа является базисом в подпространстве .

Простейшим случаем инвариантного подпространства является одномерное инвариантное подпространство , которое можно задать с помощью одного (любого) ненулевого вектора . В этом случае условие вложенности образа подпространства в себя принимает вид с некоторым числом ; такая конструкция приводит к определению собственного вектора и собственного числа: если для некоторого вектора и числа выполнено равенство , то называется собственным числом отображения , а вектор называется его собственным вектором. Собственные числа линейного отображения определены однозначно, а собственные векторы — с точностью до пропорциональности, то есть до умножения на произвольное ненулевое число.

В случае, если отображение имеет набор линейно независимых собственных векторов, число которых равно размерности пространства , из них можно составить базис (называемый собственным базисом данного отображения), в котором матрица отображения диагональна, при этом на главной диагонали стоят собственные числа. Такие линейные отображения называются диагонализируемыми. Достаточным (но не необходимым) условием диагонализируемости является наличие различных собственных чисел.