Примеры. 1. Рассмотрим свободную частицу с массой и гамильтонианом

1. Рассмотрим свободную частицу с массой и гамильтонианом . Очевидно, что оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, что приводит к сохранению импульса частицы. При этом сохраняется также и энергия частицы.

2. Другой пример-движение частицы в поле с центральной симметрией. Гамильтониан такой системы имеет вид

Выясним, сохраняется ли момент импульса частицы? Оператор момента импульса определяется как

Покажем, что оператор квадрата импульса в сферической системе координат можно представить в виде

(2.33)

где, согласно, (1.39)

С другой стороны, по определению

Далее воспользуемся коммутационными соотношениями между операторами координаты и импульса и вычислим коммутаторы

Используя полученные выражения, преобразуем оператор к виду

(2.34)

Входящие в это выражение скалярные произведения и соответственно равны

(2.35)

Подстановка (2.30) в (2.29) приводит к представлению (2.28). Таким образом, получаем, что оператор квадрата момента импульса коммутирует с оператором квадрата импульса. Учитывая также, что и операторы в сферической системе координат зависят только от угловых переменных (см. формулы (1.37)-(1.39)) и поэтому коммутируют с .