Связь симметрии с интегралами движения

Не вдаваясь в подробности, обсудим связь интегралов движения с симметрией системы. Предположим, что гамильтониан системы не зависит явно от времени. Пусть спектр гамильтониана не меняется при преобразовании волновой функции

где линейный оператор. Инвариантность означает, что из уравнения , следует аналогичное уравнение для преобразованной функции или Отсюда следует где обратный оператор. Оператор слева, стоящий перед функцией совпадает с гамильтонианом

или

Условие инвариантности означает, таким образом, коммутацию гамильтониана с оператором

(2.31)

Естественно также предположить сохранение нормы векторов

Отсюда следует, что оператор преобразования должен быть унитарным

или .

Здесь единичный оператор. Часто в приложениях используются унитарные операторы вида

(2.32)

где эрмитов оператор (), действительный параметр.

С учетом (2.32) условие инвариантности принимает вид

(2.33)

Следовательно, физическая величина, которой соответствует оператор -есть интеграл движения ().