Теория метода определения момента инерции твердого тела и проверки теоремы гюйгенса–штейнера

Рис. 2

Тело, момент инерции которого необходимо определить относительно некоторой оси вращения ОО, проходящей через центр симметрии С тела, жестко скрепляют с этой осью. Если концы оси фиксировать, тело с осью можно рассматривать как крутильный (торсионный) маятник (рис. 2). Выведенный из состояния равновесия маятник будет совершать колебания с периодом

(5)

где

k - коэффициентом угловой жесткости или модулем кручения подвеса (оси).

Численно kвыражает величину момента силы, возникающего в материале при его закручивании на единичный угол. Для тела, момент инерции J_оо которого необходимо определить в опыте, период колебаний будет иметь величину Т ₀

(5а)

Если коэффициент угловой жесткости известен, то J_oo легко определить из формулы (5а). Однако часто коэффициент угловой жесткости неизвестен. Тогда для определения момента инерции тела J_oo, чтобы исключить из формулы (5а) κ, поступают следующим образом: добавляют к телу, момент инерции которого определяют, дополнительное тело правильной геометрической формы, момент инерции J которого относительно оси ОО маятника легко вычислить по теореме Гюйгенса–Штейнера. Период колебаний такого усложненного маятника станет равным

(6)

Из уравнений (5а) и (6) выражаем искомый момент инерции J_oo

(7)

Если в качестве дополнительного груза использовать два одинаковых шара, массы m ₀ и радиуса r каждый, расположенных симметрично относительно оси маятника ОО, то момент инерции J будет записан, применяя теорему Гюйгенса–Штейнера, в виде

(8)