Точечные и интервальные прогнозы регрессанда

( – прогнозы, – прогнозы)

В формуле (1.11) для определения 1-МНК оценщика регрессанда используются временные ряды наблюдений за Т прошедших периодов, поэтому прогнозные значения полученные по формуле (1.11), являются – прогнозами. Об истинных прогнозах ( – прогнозах) регрессанда говорят тогда, когда во временных рядах прогнозный период лежит после оценочного периода. Качество прогноза будет тем выше, чем:

- полнее выполняются предпосылки модели;

- более надежно (достоверно) оценены параметры модели;

- более точно определены значения регрессоров.

Значение для будущего периода, вычисленное по формуле

(2.1)

может представлять собой:

- оценку математического ожидания регрессанда ;

- оценка индивидуального значения регрессанда .

При этом предполагается .

Обозначим ошибку прогноза при оценке математического ожидания , а при оценке индивидуального значения регрессанда .

Тогда (2.2)

(2.3)

И оцененная дисперсия ошибки прогноза и ошибки прогноза равны:

(2.4)

(2.5)

Следовательно, оцененная стандартная ошибка для E(Y_t) и для индивидуального значения y_t равна:

или (2.6)

Прогнозный интервал (интервальный прогноз, доверительный интервал) величины математического ожидания регрессанда Y при уровне доверия 1–α определяется следующим образом:

– НИЖНЯЯ ГРАНИЦА:

– ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА: (2.7)

где вычисляется по формуле (2.1); берется из таблицы t-критерия (см. приложение) при уровне значимости α и числа степеней свободы вычисляется по формуле (2.6).

При интерпретации данного прогнозного интервала следует различать прогнозный интервал для случайной переменной и для ее реализации. В первом случае он накрывает (включает) математическое ожидание E(Y_t) с вероятностью 1–α; во втором случае интервал может включать или не включать E(Y_t). Если при этом взять большое число выборок и для каждой из них вычислить соответствующий прогнозный интервал, то эти интервалы накроют E(Y_t) с вероятностью 1–α ^. 100%.

Прогнозный интервал индивидуального значения регрессанда вычисляется по формуле (2.7), но вместо величины используется . При интерпретации также необходимо заменить E(Y_t) на индивидуальное значение .

3. Коэффициент детерминации R²

В классическом анализе предполагается, что функция регрессии известна до оценки параметров. Однако в эмпирических исследованиях прежде всего должна быть выбрана из множества вариантов уравнений наиболее адекватная регрессионная функция. Оценка с использование суммы квадратов ошибок имеет существенный недостаток, который затрудняет сравнение степени соответствия различных уравнений: отсутствует верхняя граница SFQ. Этот недостаток устраняется применением коэффициента детерминации R².

Определение 1: Коэффициент детерминации R² равен квадрату эмпирического коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений: теоретическими значениями регрессанда (y_t) и его расчетными значениями . При этом t =1, 2, 3, …, T.

(3.1)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Коэффициент детерминации R² равен частному от деления суммы квадратов отклонений значений регрессанда, вычисленного с помощью регрессии, от его средней арифмитической (сумма квадратов регрессии около средней) – SRQ^m и суммы квадратов отклонений наблюдаемого ряда регрессанда от его средней арифметической (сумма общих квадратов около средней) – SGQ^m.

t =1, 2, 3, …, T. (3.2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: Коэффициент детерминации R² равен единице минус частное от деления суммы квадратов ошибок и суммы квадратов отклонений выборки от средней:

(3.3)

т.к.

то SGQ=SRQ+SFQ

откуда

Вторая часть методического пособия по курсу «Эконометрия» посвящена анализу динамических (временных) рядов и кластерному анализу. Изучение этих разделов способствует формированию у студентов навыков прогнозирования и классифицирования. Такие навыки будут весьма полезны в практической работе.