П. 2. Тренд

Суть анализа динамического ряда заключается в разделе каждого значения уровней динамического ряда на две составляющие: закономерную и случайную. Статистическими методами выделяют закономерное поведение уровней динамического ряда и случайные отклонения относительно закономерных значений. Причем необходимо четко осознавать, что такое разделение на случайную и закономерную составляющую условно и не существует методов позволяющих абсолютно надежно провести такое разделение.

Однако, если динамический ряд имеет тенденцию к закономерному увеличению или уменьшению значений уровней ряда, то для описания закономерной составляющей рекомендуют пользоваться трендом. (Тренд в переводе и означает тенденция.) В зависимости от характера изменения динамического ряда могут быть применены различные виды тренда: линейный, степенной, экспоненциальный, логарифмический, логистический. Далее будет рассматриваться только простейший вид тренда – линейный.

Y_i = a + b t_i (2.1)

где: Y_i - значение тренда в момент времени t_i, а и b – коэффициенты линейного тренда. Истинные значения динамического ряда отличаются от тренда на величину остатка.

L_i = yi - Y_i = y_i - a - b t_i (2.2)

где: y_i – текущее значение динамического ряда; e_i – текущее значение остатка.

Уравнение линейного тренда совпадает с уравнением парной линейной регрессии (вместо x_i - t_i). Коэффициенты тренда также как и коэффициенты уравнения регрессии рассчитывают методом наименьших квадратов.

b = S (t_i – t) (y_i - y) / S (t_i – t)²; a = y - b t (2.3)

где: y – среднее значение уровней ряда

у = (1/n) S y_i (2.4)

t – среднее значение времени.

t = (1/n) S t_i (2.5)

П. 3. Краткосрочное прогнозирование по тренду.

Пусть известны значения динамического ряда: у₁, у₂, … у_n (т.е. имеются n данных). Значение у_n+1 оценивают по тренду.

y_n+1 = Y_n+1 = a + b t_n+1 (3.1)

Однако точечный прогноз содержит недостаточно информации. Необходимо дополнить точечный прогноз оценкой возможной неточности прогноза – расчетом доверительных интервалов. Для этого необходимо найти все n величин остатков.

_.e_i = y_i - Y_i = y_i - a + b t_i (3.2)

Затем дисперсию остатков.

D(e_i) = (1/(n-2)) S (e_i)² (3.3)

Где n-2 - число степеней свободы. 2 степени свободы затрачены на расчет коэффициентов тренда a и b. Приняв допущение о том, что остатки распределены по нормальному закону, можно найти величину доверительного интервала с помощью t теста. Совершенно аналогично тому, как находили доверительный интервал для уравнения регрессии.

Доверительный интервал краткосрочного прогноза по тренду:

Нижняя граница:

Y_n+1 - t _a * s (3.4)

Где s = (D(e_i))^1/2 (3.5)

Верхняя граница:

Y_n+1 + t _a* s (3.6)