Процент и ставка процента

К одной из основных проблем, с которой постоянно сталкивается финансовый менеджер любой компании, относится оценка будущей стоимости сегодняшних денежных потоков. Инвестору, оценивающему свое финансовое решение, приходится постоянно оперировать с денежными средствами, существующими в различные моменты времени и, следовательно, имеющими различную стоимость, поскольку две одинаковые, но относящиеся к различным моментам времени суммы с экономической точки зрения неэквивалентны, т.е. рубль сегодня и рубль, например, через год — это разные по стоимости величины. В частности, рубль полученный сегодня, имеет большую ценность, чем рубль, полученный в будущем.

Мерой, позволяющей соотносить между собой стоимости денег и различные моменты времени, признаются процент и процентная ставка.

Процентом в общем случае называют абсолютную величину дохода, выраженную и денежных единицах, от какой-либо финансовой операции.

Если в финансовую операцию в ее начале была вложена (инвестирована) сумма S0, а по завершению этой операции (инвестиционного проекта) получена сумма то величина процента составит: R = - S0.

Схема получения процента в самом общем виде может быть представлена на рис. 3.1.

Процент, рассчитанный в виде относительной величины r, носит название процентной ставки r = R/S0 * 100.

Хотя наиболее часто величина процентной ставки задается в процентах, т.е. в сотых долях, в математических выкладках ставку процента выражают в долях единицы, исчисляя ее как r=R/S{). Величина процентной ставки определяется в расчете на конкретный базовый период времени, как правило, один год. В практических расчетах процентная ставка первична но отношению к проценту, на основании которой процент и рассчитывается как R = S0 * r

Рис.3.1 Схема образования процента

Схема простых процентов

В финансовом менеджменте используется большое количество различных схем начисления процентов в зависимости от типов выполняемых финансовых операций. Но в целом они базируются па простых и сложных процентах.

Простой процент. Пусть денежная сумма S0, называемая основной, инвестирована на срок t под простые проценты по ставке r. Заметим, что r и t здесь должны быть согласованы, т.е., если процентная ставка годовая, то и срок должен быть указан также в годах. Простой процент рассчитывается исходя из предположения, что на уже накопленный ранее процент нс начисляются новые проценты. Соответственно, для подсчета процентов за любой период мы должны использовать одну и ту же (основную) денежную сумму S0. С учетом вышесказанного, располагаемая инвестором на конец указанного срока t сумма St составит

St = S0 + (S0*r)t= S0 (l+rt).

Совокупный процент в данном случае может быть рассчитан следующим образом:

R= St - S0= S0 (1+rt)- S0= S0 *r*t

Необходимо отметить, что. выполняя финансовые расчеты, часто приходится решать задачу, обратную рассмотренной выше, определяя, какую сумму S0 необходимо инвестировать, чтобы спустя время t получить наращенное значение St.Ответ здесь очевиден:

Величина S0 в этом случае называется текущим (приведенным, настоящим).точением суммы St. относящейся к будущему моменту времени t.

Процecc же вычисления текущего значения именуется дисконтированием но заданной процентной ставке.

В англоязычной финансовой литературе для обозначения текущего значения стоимости употребляется специальное обозначение PV (Present value):

где FV (Future value) — будущая стоимость инвестиции.

Приведенная (дисконтированная) стоимость в данной формуле — это именно тот объем денежных средств, который требовалось бы инвестировать, чтобы через интервал времени t получить будущую стоимость FV.

Величину r в рассматриваемой процедуре дисконтирования часто называют ставкой дисконтирования, предельной нормой доходности, альтернативными издержками капитала или издержками упущенных возможностей, поскольку она представляет

собой норму доходности, от которой отказывается инвестор, вкладывая денежные средства в конкретный проект, а не, например, в государственные ценные бумаги, скажем, облигации.

Расчеты текущей (сегодняшней) стоимости играют важную роль в решении многих финансовых проблем выбора между несколькими альтернативами, например, приобретать новое оборудование или модернизировать имеющееся, платить наличными или взять для этих целей кредит и т.д. Текущая стоимость является основной для сопоставления различных финансовых проектов,

так как позволяет привести денежные потоки к одному и тому же моменту времени и сравнить их по текущей (сегодняшней) стоимости.

Дисконт и учетная ставка (d). В ряде случаев проценты представляют собой скидку с некоторой конечной суммы, принимаемой за 100%. Например, в банковской практике учета векселей

стоимость векселя представляет собой конечную сумму, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной.

Разница между стоимостью векселя и суммой, выдаваемой банком по этому векселю, называется дисконтом.

Если вексель учитывается за один год до его погашения, то величина дисконта D может быть рассчитана как D = S0 • d,

умма, которую получит владелец учитываемого векселя, оире- (гдится так:

Для двух лет: S2 = S0(1 - d) - S0 • d = S0(1 - 2d).

Для трех лет: S3 = S0(1 - 2d) - S0 *d = S()(1 - 3d).

В общем случае St = S0(1 -t • d).

Учетная ставка, описываемая приведенными выше формулами, называется простым банковским процентом. Величина (1 –t* d) носит название дисконтного множителя за период t по учетной ставке d.

Рассматривая учетную ставку, нетрудно убедиться в ее эквивалентности процентной ставке; различие между ними заключается в «направлении» схемы расчета и выбора временной базы, т.с времени, относительно которого вычисляется эффект финансовой операции. Для процентной ставки это начало периода, а для учетной — конец.

С учетом вышесказанного на дисконт можно посмотреть как на процент, уплачиваемый (получаемый) не в конце периода, а в начале, поэтому дисконтную ставку иногда называют авансированной процентной ставкой. Очевидно при этом, что говорить о соответствии (эквивалентности) процентной и учетной ставок можно лишь указав период (срок), относительно которого утверждается эквивалентность. Так, ставки, эквивалентные для одного периода, не будут эквивалентны и относительно другого. Это касается как ставок за период, так и годовых ставок.

Схема сложных процентов

В большинстве финансовых расчетов менеджерам приходится сталкиваться со сложным, а не с простым процентом. Если сумму, начисляемую по процентам, каждый раз инвестировать (капитализировать), иначе говоря, присоединять к основной сумме, т.е. в качестве приращения использовать не постоянную величину, как в случае простого процента, а процентную ставку от всей накопленной предыдущей суммы, то в данном случае речь будет идти о сложной процентной ставке.

Сложная процентная ставка такая ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды («проценты на проценты»).

Последовательность расчетов по сложной ставке процента в общем виде такова:

сумма, начисленная за первый год: = S0 + S0r = S(l(1 + r);

сумма, начисленная за второй год: S2 = S() (1 + r) + 50(1 + r) r = = S0 .

В общем случае.

Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестирование на один период, соответствующий процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению. Поэтому начисление сложных процентов эквивалентно начислению простых при реинвестировании средств в конце каждого периода.

Итак, справедлива следующая формула, называемая формулой сложных процентов:

где , — наращенная по сложным процентам сумма; S0 — основной капитал; r — процентная ставка за период; t — срок (в периодах, соответствующих процентной ставке): — множитель наращения1.

Примечание. Нестабильность экономической ситуации вынуждает использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов.

И этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле

где — последовательные значения ставок процентов;

— периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Формула дисконтирования по сложным процентным ставкам имеет следующий вид:

Пример. 250 тыс. долл. США инвестированы на четыре года под 6% годовых. Вычислите сложные проценты, начисленные к концу срока.

Решение.

FV = 250 000 /(1 + 0,06)⁴ = 315619 долл.

R = 315619 - 250 000 = 65619 долл.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты; различия между ними обусловлены сроками сделок. Так. при равной величине простых и сложных процентных ставок (), при сроке ссуды менее одного года (t< 1) наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам. При сроке сделки больше года (t > 1) наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, ибо в этом случае

Где в фигурных скобках раскрыто по формуле бинома Ньютона.

Будущая стоимость и частота капитализации. Как правило, и финансовых контрактах фиксируется годовая процентная ставка, хотя проценты при этом могут начисляться по полугодиям, кварталам. месяцам и т.д. Очевидно, что чем чаще проценты капитализируются, тем быстрее растет стоимость соответствующего актива. Годовая ставка в этом случае должна быть соответствующим образом преобразована. Так, если годовая ставка процента 12%, то при полугодовом варианте капитализации она составит 6 при квартальном — 3% и т.д.

Для расчета будущей стоимости, например, при полугодовой капитализации можно представить, что сумма PV инвестируется на два периода с процентной ставкой r/2 за каждое полугодие. Таким образом, следует рассчитать будущую стоимость FV через два периода (полугодия). Обобщив, можно сказать, что если т число периодов капитализации в году, то будущая стоимость FV через t лет при ставке r процентов в год, выражается формулой

Пример. Вкладчик размещает в банке 1000 долл. США под 20% годовых. Какую сумму денежных средств он будет иметь на своем счете через пять лет, если сложный процент начисляется: а) ежеквартально; б) ежемесячно?

Решение.

А)

B)

Как следует из приведенного примера, чем чаще периодичность начисления сложного процента, тем большую сумму получит инвестор за тот же период времени при одинаковой годовой процентной ставке.

Непрерывное начисление процентов. Сложный процент может начисляться достаточно часто. Если периодичность начисления процента будет стремиться к бесконечности (т→∞), получим случай непрерывного начисления процента. Несмотря на то, что логически непросто представить себе частоту начисления процента, равную бесконечности, математически возможно определить ту сумму средств, которую получит инвестор, если разместит денежные средства на условиях непрерывно начисляемого процента. В частности;

Где, α=m/r

При непрерывном начислении процентов т →∞, следовательно,α→∞. В этом случае

Тогда

Нетрудно убедиться в том, что множитель наращения действительно ограничен в росте по мере увеличения параметра т. Читатель сможет это сделать самостоятельно, например, для частного случая, когда r= 1 и t = 1. Уже при т = 1000 множитель наращения будет равен 2,717, а при т = 10 000 примет значение 2.7181.

Непрерывное наращение — допущение, существующее только в теории и применяющееся в финансовых моделях, таких, как, например модель определения стоимости опционов

Эффективная (фактическая) процентная ставка. Итак, мы выяснили, что чем чаще происходит капитализация, тем быстрее растет будущая стоимость. Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками.

Эффективная процентная ставка — совокупно начисленная за год процентная ставка, которая эквивалентна годовой процентной ставке при капитализации

чаще,чем один раз в год.

Эта последняя известна так же как номинальная, или заявленная, ставка процента. Эффективная и номинальные ставки эквивалентны, когда обеспечивают одинаковую будущую стоимость. Таким образом, для того, чтобы найти эффективную ставку прцента, необходимо, очевидно, решить следующее уравнение:

В левой части данного уравнения показана будущая стоимость (через один год) 1 ден. ед., на которую начисляется эффективная процентная ставка, а в правой части - будущая стоимость 1 ден. ед., на которую начисляется сложный процент в течение т периодов при ставке r/т за период. Так как т периодов в совокупности составляют год, то рассматриваемое уравнение отражает совершенно естественное требование того, чтобы оба эти значения будущей стоимости были равны.

Для произвольного количества лет (t) имеем

Эффективная процентная ставка часто используется для сравнения инвестиционных альтернатив при разных процентных ставках и периодах капитализации. Рассчитав в этом случае эффективные ставки процента, предпочтение должно быть отдано (при прочих равных условиях) варианту с большим значением эффективной (фактической) ставки процента.

Пример. Предположим, что вы планируете инвестировать 100000 долл. США, и имеете возможность вложить их под 12% годовых с ежемесячной капитализацией. Есть и другой вариант: можете вложить свои средства под 12,4% годовых с полугодовой капитализацией. Какой вариант предпочесть?

Для ответа вычислим аффективные ставки процента но обоим вариантам

Сравнительный анализ результатов расчетов свидетельствует о более высокой эффективности второго инвестиционного варианта вложения средств.

Определение неизвестной процентной ставки. В некоторых финансовых расчетах инвесторы для обоснования своих решений сталкиваются с необходимостью определения неизвестной процентной ставки, связывающей конкретные значения настоящей (приведенной) и будущей стоимости при известном сроке их разделяющем. Например, некоторые виды облигаций требуют платежа сегодня и предполагают будущий платеж на заданную сумму, но подразумеваемая при этом процентная ставка не указывается, и поэтому ее приходится рассчитывать.

Это можно сделать после соответствующего преобразования формулы, связывающей настоящую (приведенную) и будущую стоимости. В результате получим

Пример. Вам предлагают инвестировать денежные средства, гарантируя удвоить их объем через пять лег. Целесообразно ли последовать данному предложению, если у вас имеется альтернативная возможность размещения денег под 14% годовых?

Решение.

Следовательно, сделанное пр6едложение экономически выгодно.

Определение неизвестного числа периодов. Иногда финансовым менеджерам требуется вычислить, какое время понадобится для того, чтобы инвестированная в конкретный проект сумма достигла, при известной процентной ставке, определенного (заданного) размера. Например, менеджера пенсионного фонда, располагающего конкретным объемом денежных средств сегодня для обеспечения будущих пенсионных платежей, может интересовать, за какой период эти средства вырастут до некоторой величины, позволяющей обеспечить выполнение обязательств фонда. Здесь как и в предыдущем случае, решение может быть найдено из уравнения, связывающего настоящую (сегодняшнюю) и будущую стоимости:

Перепишем ее следующим образом:

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства:

Согласно свойству логарифма запишем

Решение этого уравнения для t дает

Пример. В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 10000 долл. США с целью получения по счету 11881 долл. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется в конце каждого года. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Для приблизительного расчета количества дискретов (периодов) времени, требуемых для удвоения инвестиций, можно воспользоваться известным «правилом 72», дающим очень хорошее приближение. Искомая величина здесь может быть рассчитана делением числа «72» на ставку процента, задаваемую в процентах.