Пусть и дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , в которой выполняются необходимые условия существования условного экстремума функции при ограничениях .
Если при выполнении условий
, (1)
второй дифференциал является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функция в точке имеет условный минимум (максимум).
Если при условиях (1) является неопределенной квадратичной формой, то в точке условного экстремума нет.
Пример 3. Найти экстремум функции при условии, что переменные и удовлетворяют уравнению .
Пример 4. Найти условный экстремум функции
относительно уравнения связи .
Решение. Функции и дважды непрерывно дифференцируемы. Матрица Якоби , .
Строим функцию Лагранжа .
Необходимые условия:
В точках и может быть условный экстремум.
Достаточные условия:
, , . , .
В точках и и связаны соотношением , поэтому и .
Точке соответствует поэтому и в точке условный максимум.
Точке соответствует поэтому и в точке условный минимум.
|
|