2015-04-17
329
Пусть 
и 
дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки 
, в которой выполняются необходимые условия существования условного экстремума функции при ограничениях 
.
Если при выполнении условий
, 
(1)
второй дифференциал 
является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функция в точке имеет условный минимум (максимум).
Если при условиях (1) является неопределенной квадратичной формой, то в точке условного экстремума нет.
Пример 3. Найти экстремум функции 
при условии, что переменные 
и 
удовлетворяют уравнению 
.
Пример 4. Найти условный экстремум функции
относительно уравнения связи 
.
Решение. Функции 
и 
дважды непрерывно дифференцируемы. Матрица Якоби 
, 
.
Строим функцию Лагранжа 
.
Необходимые условия:
В точках 
и 
может быть условный экстремум.
Достаточные условия:
, 
, 
. 
, 
.
В точках и 
и 
связаны соотношением 
, поэтому 
и 
.
Точке соответствует 
поэтому 
и в точке 
условный максимум.
Точке соответствует 
поэтому 
и в точке 
условный минимум.
