Статистические методы

Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) можно представить (см. символический образ в табл. 2.1) как бы в виде "размытой" точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учитываемые в модели свойства) оператор Ф[S_x]. "Размытую" точку следует понимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее поведение); при этом границы области заданы с некоторой вероятностью р ("размыты") и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Напомним, что под вероятностью события понимается p(A)=m/n (де m – число появлений события A, n – общее число опытов), если при n→∞ (m/n)→const.

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить срез по линии а-b, смысл которого - воздействие данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т. д. картины статистического распределения.

Статистические закономерности можно представить в виде дискретных случайных величин и их вероятностей, или в виде непрерывных зависимостей распределения событий, процессов.

Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины х_i и их вероятностями р_i называют законом распределения и записывают в виде ряда (табл. 2.4).

Дискретные события также представляют в виде зависимостей F(x) (рис. 2.5 а) или p_i(x_i) (рис. 2.5 б). При этом

Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распре деления представляют (соответственно дискретным законам) либо в виде функции распределения (интегральный закон распределения - рис. 2.5 б), либо в виде плотности вероятностей (дифференциальный закон распределения - рис. 2.5 в). В этом случае: р(х)= dF(x)/dx и F(х) = р(х) х, где р(х) - вероятность попадания случайных событий в интервал от х до x + х.

Для полной группы несовместных событий имеют место условия нормирования:

закона распределения

и плотности вероятности

В монографиях и учебниках применяют тот или иной вид зависимостей, приведенных на рис. 2.5, более подходящий для соответствующих приложений.

Рис. 2.5.

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы. Однако получение закона (даже одномерно го) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками - начальными и центральными моментами.

Наибольшее применение получили:

1-й начальный момент - математическое ожидание или среднее значение случайной величины

2-й центральный момент - дисперсия случайной величины:

На практике иногда используется не дисперсия , а среднее квадратическое отклонение сигма .

Связь между системами в общем случае характеризуется ковариацией - моментом связи; для двумерного распределения обозначаемых соv(х, y), или m_xy, или M[ (х-т_х)(у-т_у)].

Можно использовать ковариацию нормированных отклонений -коэффициент корреляции

Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статистических закономерностей и доказательства адекватности их применения для конкретных приложений, которое базируется на понятии выборки.

Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности и распространяемые на нее с какой-то вероятностью.

Для того, чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной (репрезентативной), т. е. обладать определенными качественными и количественными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, т. е. с определением, являются ли элементы, входящие в выборку, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы с точки зрения цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть случайной, направленной или смешанной). Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточно го для того, чтобы на основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом; уменьшение объема выборки можно получить на основе эргодического свойства, т. е. путем увеличения длительности статистических испытаний (в большинстве практических случаев вопрос о количественных характеристиках выборки является предметом специального исследования).

На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий:

математическая статистика [7, 2.9, 2.64 и др.], объединяющая различные методы статистического анализа (регрессионный, дисперсионный, корреляционный, факторный и т. п.);

теория статистических испытаний, основой которой является метод Монте-Карло, а развитием - теория статистического имитационного моделирования;

теория выдвижения и проверки статистических гипотез, возникшая для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии и базирующаяся на общей теории статистических решающих функций А. Вальда [2.8] (частным случаем теории выдвижения гипотез, важным для теории систем, является байесовский подход к исследованию процессов передачи информации в процессах общения, обучения и др. ситуациях в организационных системах);

теория потенциальной помехоустойчивости, начала которой положены работами В.А.Котельникова, проводимыми независимо от теории решающих функций;

обобщающая последние два направления теория статистических решений, в рамках которой, в свою очередь, возник ряд интересных и полезных для практики направлений.

Перечисленные направления в большинстве своем носят теоретико-прикладной характер и возникали из потребностей практики. Однако есть и ряд дисциплин, которые носят более выраженный прикладной характер. В их числе: статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, экономическая статистика, теория массового обслуживания; а также развившиеся из направлении, возникших на базе аналитических представлений, - стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т. п.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (событиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочно го исследования (исследования репрезентативной выборки) получать статистические закономерности и распространять их на поведение системы в целом.