Краткие теоретические сведения. Рассмотрим уравнения вида где и - многочлены, а так же уравнения вида

Рассмотрим уравнения вида где и - многочлены, а так же уравнения вида где и - рациональные выражения.

Напомним некоторые сведения из алгебры.

1. Если корень многочлена , то делится без остатка на двучлен

2. Пусть все коэффициенты многочлена - целые числа, причем старший коэффициент равен Если такой многочлен имеет своим корнем рациональное число, то это число целое.

3. Пусть коэффициенты многочлена - целые числа. если корнем многочлена является целое число то – делитель свободного члена (необходимое условие существования целочисленного корня).

Отметим, что при решении целых рациональных уравнений преобразования, выполняемые в процессе решения, приводят только к уравнениям, равносильным заданному. Поэтому, естественно, найденные корни не проверяют и упоминать об этом не следует. При решении же дробно-рациональных уравнений выполняется умножение обеих частей на одно и тоже выражение что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому при решении дробно-рациональных уравнений проверка необходима.

При решении рациональных (и других) уравнений основными являются следующие методы:

1) разложение на множители;

2) введение новых переменных.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

то всякое уравнение

(1)

является решением совокупности уравнений

(2)

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не всякое решение совокупности (2) является решением уравнения (1).