Решение типовых задач. Пример 1. Решим уравнение

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем и далее

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

Из первого уравнения получаем Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Попытки выполнить в левой части уравнения группировку аналогичную тому, как это было сделано в примере 1, оказываются неудачными. Поэтому попытаемся какой-нибудь член уравнения представить в виде суммы нескольких слагаемых таким образом, чтобы группировка, позволяющая получить «удачное» разложение на множители, была осуществима. Положим Тогда получим и далее

Остается решить совокупность уравнений

Ни одно из них действительных корней не имеет. Значит, заданное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 3. Решим уравнение

Решение. Можно попытаться решить это уравнение, как в предыдущих примерах 1 и 2, разложением на множители (представив в виде суммы , получить уравнение а затем и т.д.). Мы покажем на этом примере так называемый метод подбора, с помощью которого отыскивается целый корень уравнения. Используя необходимое условие существования целочисленного корня, выпишем делители свободного члена:

Теперь начинаем пробы. Подставим вместо в данное уравнение Получаем

Таким образом не является корнем уравнения. Продолжаем пробы: Итак - корень уравнения.

Воспользуемся тем, что многочлен делится без остатка на Выполним это деление:

Таким образом, а, значит, исходное уравнение принимает вид:

Это уравнение равносильно совокупности уравнений (решение первого из которых уже найдено) Второе уравнение совокупности не имеет корней.

Заданное уравнение имеет один действительный корень

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Положим Тогда заданное уравнение примет вид:

Решим это уравнение как квадратное относительно

Итак, Таким образом, задача сводится к решению следующей совокупности уравнений:

Из этой совокупности находим:

Пример 5. Решим уравнение

Решение. Заданное уравнение имеет интересную особенность: отношение первого коэффициента к свободному члену и квадрат отношения второго коэффициента к предпоследнему равны между собой. Уравнения с такой особенностью называются возвратными. На этом примере мы покажем способ решения возвратного уравнения четвертой степени.

Разделив обе части уравнения на (это не приведет к потере корня, так как значение не является корнем заданного уравнения). Получим:

и далее

Положим тогда а потому Заменив в последнем уравнении на а на получим: откуда находим

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений:

Эти уравнения не имеют действительных корней, значит, и заданное уравнение не имеет корней.