Краткие теоретические сведения. Пусть дано два уравнения с двумя неизвестными и , и ставится задача найти все пары чисел , таких

Пусть дано два уравнения с двумя неизвестными и , и ставится задача найти все пары чисел , таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства. При данных условиях говорят, что задана система уравнений и записывают её в виде

Решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел , таких, что при подстановке числа вместо х и числа вместо y получаются верные числовые равенства. Это множество будем называть решением системы уравнений.

Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. При замене одного уравнения системы равносильным ему уравнением, система переходит в равносильную ей систему уравнений (в частности, можно переносить члены уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака, и умножать обе части уравнения на одно и тоже отличное от нуля число).

Рассмотрим основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки. Этот метод основан на том, что данную систему

(1)

сводят к равносильной системе вида:

(2)

Чтобы свести данную систему к виду (2), надо решить какое-либо уравнение системы (1) относительно одного из переменных, т.е. выразить его через другую переменную.

2. Метод алгебраического сложения уравнений. Это второй очень эффективный метод решения систем уравнений. Сущность его в том, что к обеим частям одного из уравнений системы прибавляют соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставляют без изменения. В результате, как правило, получается система, к которой применим метод подстановки.

3. Метод замены переменных. Сущность его в том, некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, в результате чего получается более простая система уравнений, относительно новых переменных. После того как эта система буде решена, необходимо найти значения исходных переменных.

4. Метод разложения на множители основан на следующей теореме:

Если функции определены на некотором множестве А, то на этом множестве система уравнений равносильна совокупности систем уравнений:

…