Решение типовых задач. Пример 1. Решим уравнение

11 12 13 14 15 16 17

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

и далее

После возведения в квадрат последнего уравнения получим: откуда находим

Проверка. Найденные корни несложно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Таким образом, является корнем заданного уравнения.

2) т.е. – посторонний корень. Таким образом, только является корнем заданного уравнения.

Ответ.

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и уединим затем полученный радикал:

(*)

После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения и последующего приведения подобных членов получим квадратное уравнение: корнями которого являются

Проверка. Проверять найденные корни подстановкой в уравнение явно нецелесообразно. Поступим следующим образом. Найдем область определения исходного уравнения. Из системы неравенств

находим, что этой областью является луч . Выясним, принадлежат ли найденные корни этому лучу. Имеем:

Таким образом, т.е. принадлежит лучу , и, значит, может являться корнем уравнения. Далее,

Таким образом, т.е. не принадлежит лучу , и, значит, не являться корнем уравнения.

Вернемся теперь к . Выясним знак разности, находящейся в правой части уравнения. Имеем:

Таким образом, являться корнем уравнения (*). А так как уравнение (*) равносильно данному уравнению, то корнями уравнения (*) могут являться только корни исходного уравнения. Итак, корнем уравнения является

Ответ.

Пример 3. Решим уравнение

Решение. Уединение корня и возведение обеих частей уравнения привели бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножив обе его части на 2, получим: и далее

Положив получим откуда Значит, уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:

Из первого уравнения совокупности находим

Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна уравнению, причем второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение . Эта подстановка показывает, что оба найденных значения являются корнями этого уравнения, а значит, и заданного уравнения.

Ответ.

Пример 4. Решим уравнение (*)

Решение. Умножим обе части заданного уравнения на выражение сопряженное выражению Так как

то уравнение примет вид: или

Как легко видеть, является корнем этого уравнения. Остается решить уравнение (**)

Сложив уравнения (*) и (**), придем к уравнению Решая уравнение методом возведения в квадрат, получим: и далее откуда

Проверка. Поочередно подставляя найденные значения в исходное уравнение, убеждаемся, что ему удовлетворяет только значение Таким образом, - единственный корень уравнения.