Краткие теоретические сведения. Несобственные интегралы являются обобщением понятия определённого интеграла на случаи: 1) когда область интегрирования является не отрезок

Несобственные интегралы являются обобщением понятия определённого интеграла на случаи: 1) когда область интегрирования является не отрезок , а полупрямые , или вся прямая ; 2) когда функция имеет точки разрыва 2-го рода, в окрестностях которых функция неограниченна.

Если функция непрерывна на полупрямой , то – некоторая непрерывная функция от . Тогда предел называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом функции на и обозначается .

Таким образом = .

Если предел существует и конечен, то интеграл сходящийся, если не существует или бесконечен, то расходящийся. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

, ,

где – произвольная фиксированная точка. При этом говорят, что интеграл сходится, если сходится каждый из двух несобственных интегралов в правой части этого равенства, и расходится, если хотя бы один из них расходится.

Если сходится интеграл , то интеграл – абсолютно сходящийся.

Для установления сходимости интеграла можно использовать следующие признаки сравнения.

Теорема. Пусть всюду на полупрямой справедливо неравенство . Тогда: 1) если интеграл – сходится, то сходится и интеграл , причем ; 2) если интеграл расходится, то будет расходиться и интеграл .

Пусть функция непрерывна во всех точках за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Тогда по определению

, где .

Интеграл называется несобственным интегралом от разрывной функции. Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то интеграл сходящийся, если хотя бы один из них не существует или бесконечен, то расходящийся. В случае, когда или , в правой части равенства будет только один предел.

Теорема. Пусть всюду на отрезке функции , терпят бесконечный разрыв в точке и всюду, кроме , выполняется неравенство . Тогда: 1) если интеграл – сходится, то сходится и интеграл ; 2) если интеграл расходится, то будет расходиться и интеграл .