Решение типовых задач. Пример 1. Установить при каких значениях этот интеграл сходится, а при каких расходится

Пример 1. . Установить при каких значениях этот интеграл сходится, а при каких расходится.

Решение. Пусть . Тогда .

Итак, . Следовательно, если , то (т.к. при ), т.е. интеграл сходится; если , то (т.к. при ), т.е. интеграл расходится.

При , т.е. интеграл расходится.

Пример 2. Доказать, что сходится.

Решение. Известно, что при . Тогда – сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при , следовательно, по определению:

. Интеграл сходится.

Пример 4. Найти условия сходимости и расходимости несобственных интегралов .

Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при .

Пусть .

Тогда и если , то ;если , то .

Пусть . Тогда

.

Итак, данный интеграл сходится при и расходится при .