Поверхностный эффект в проводящем теле с плоской поверхностью

Рассмотрим поверхностный эффект на примере падения плоской электромагнитной волны на полуограниченное металлическое тело с плоской поверхностью (рис. 1.3). Будем считать, что размеры поверхности и глубина тела бесконечны, а его физические свойства постоянны во всех точках. Этот весьма идеализированный случай тем не менее очень важен для рассмотрения электромагнитных явлений в реальных проводниках при ярко выраженном поверхностном эффекте.

Рис. 1.3. Ориентация векторов поля плоской электромагнитной волны на поверхности полуограниченного пространства

Запишем допущения для этого случая:

1. Поле принимается квазистационарным. Это означает, что нет запаздывания электромагнитной волны в воздухе (но не в металле; в металле запаздывание электромагнитной волны есть).

В иной формулировке: длина электромагнитной волны в воздухе много больше максимального геометрического размера системы.

2. Расчет установившихся электромагнитных процессов можно проводить для величин, изменяющихся во времени по гармоническому закону. При этом ошибка в определении интегральных и распределенных параметров не велика. Это позволяет использовать символический метод при выводе формул и расчетах на ЭВМ электромагнитных процессов.

3. Потери на гистерезиспри нагреве ферромагнитных тел много меньше, чем на вихревые потери. Поэтому принимается, что зависимость — однозначная и вещественная величина.

4. Потери на гистерезис и вихревые токи в магнитопроводе не оказывают влияние на электромагнитное поле вне его, и их можно учитывать отдельно при расчете теплового режима магнитопровода.

5. Размеры полуограниченного пространства с плоской поверхностью много больше глубины проникновения.

6. Свойства материала — магнитная проницаемость и удельное сопротивление — постоянны во всем исследуемом объеме.

7. Граничные условия: напряженность магнитного поля на границе, разделяющей металл и воздух, одинакова и равна .

Принятые допущения позволяют решать одномерную электромагнитную задачу для полуограниченного пространства (рис. 1.3), свойства которого постоянны во всем исследуемом объеме [1–3].

Уравнения и выражают в дифференциальной форме законы полного тока и электромагнитной индукции соответственно. Второе слагаемое в правой части уравнения представляет собой плотность тока смещения, которым в проводнике практически всегда можно пренебречь.

Так как в плоской волне векторы и имеют лишь по одной составляющей (в рассматриваемом случае и — см. рис. 1.3.), то уравнения и упростятся:

где — удельное сопротивление, Ом·м; — удельная проводимость, 1/(Ом·м).

В дальнейшем индексы «» и «» будут опускаться. Если и — синусоидальные функции времени, то

где и , и — вещественные и комплексные амплитуды напряженности магнитного и электрического полей соответственно; и — соответствующие начальные фазы; — круговая частота.

Подставляя выражения в уравнения и, получим:

После подстановки в уравнение выражения для из уравнения, получим:

где — глубина проникновения тока, м:

Решение уравнения имеет вид:

Коэффициенты и находятся из характеристического уравнения, они равны:

Выражение для может содержать только слагаемое с отрицательным коэффициентом , так как в противном случае будет неограниченно возрастать с возрастанием , что невозможно.

Таким образом, решение будет иметь вид:

При имеем , т.е. амплитуда напряженности равна своему значению на поверхности . Выбрав начало отсчета времени так, что при значение , получим . Тогда выражение для примет вид:

Из уравнения определим:

Отсюда можно найти выражение для плотности тока:

Понятие глубины проникновения в выражениях – очень важно. В слое толщиной проходит примерно 85,89% полного тока и выделяется 86,5% мощности. Использование понятия глубины проникновения часто позволяет упростить расчеты, заменив экспоненциальное распределение — более простым, прямоугольным, т.е. считать, что весь ток течет только в слое глубиной с равномерной плотностью , и за пределами этого слоя плотность тока равна нулю. Это значит, что при тепловом расчете индукционного нагрева плоской заготовки, размеры которой много больше глубины проникновения, можно считать, что энергия выделяется в слое и распределена в нем равномерно.

Кроме того, довольно просто определяется внутреннее электрическое сопротивление параллелепипеда длиной , шириной и толщиной Ос (рис. 1.3):

Воспользовавшись законом электромагнитной индукции для контура OcefO на рис. 1.3 и полного тока для контура OabcO, получим:

Подставив выражения для и , получим:

Подставив выражение для из, получим:

Необходимо иметь в виду, что — внутреннее индуктивное сопротивление параллелепипеда, оно определяется магнитным потоком, проходящим внутри металла (поэтому использован индекс «м»).

Модуль электрического сопротивления, а также активное и внутреннее индуктивное сопротивления равны:

, .

Здесь выступает физический смысл : электрическое сопротивление полубесконечной среды при тех допущениях, которые мы приняли, равно сопротивлению полосы толщиной .

Важными частными случаями формулы для глубины проникновениями, широко используемыми на практике, являются:

1) Глубина проникновения в материал индуктора — медь.

Для меди =2∙10^–8 Ом∙м, =1. Тогда:

2) Глубина проникновения в металл при >750 °C.

В этом случае = 10^–⁶ Ом·м и =1. Тогда:

1.2.2. Распределение параметров электромагнитного поля в проводящем цилиндре при ярко выраженном поверхностном эффекте (R ₂ >> D₂)

При расчете параметров электромагнитного поля в системе индуктор – нагреваемый цилиндр все геометрические и электрические параметры для индуктора обозначены с индексом «1» (D ₁, R ₁, h ₁, D₁, r₁ и т.д.), а для цилиндра – с индексом «2» (D ₂, R ₂, h ₂, D₂, r₂ и т.д.).

а) Цилиндр с постоянными электрическими параметрами по всему объему (r=const, m=const)

При решении электромагнитной задачи для цилиндра при ярко выраженном поверхностном эффекте могут быть использованы распределения напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности тока для полубесконечной среды:

где , , —комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного (А/м) и электрического (В/м) полей и плотности тока (А/м²) внутри цилиндра на расстоянии от поверхности цилиндра; , , —комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного (А/м) и электрического (В/м) полей и плотности тока (А/м²) на поверхности цилиндра (при этом начало отсчета времени выбрано так, что при и получаем: ); — глубина проникновения тока, (на глубине параметры , и уменьшаются в раз).

Зависимости от относительной глубины приведены на рис. 1.4, а распределения плотности тока по сечению нагреваемого предмета изображены на рис. 1.5.

Рис. 1.4. Зависимость плотности тока, напряженностей электрического и магнитного полей от глубины для

полубесконечной среды и цилиндра при ярко

выраженном поверхностном эффекте ()

Использование понятия глубины проникновения тока при ярко выраженном поверхностном эффекте () позволяет упростить расчеты. Экспоненциальное распределение тока можно заменить более простым — прямоугольным, т.е. считать, что ток течет только в слое глубиной на поверхности цилиндра с равномерной плотностью , и за пределами этого слоя равен нулю. Тепловой расчет для данного случая может производиться при допущении, что вся энергия выделяется в слое глубиной (глубина активного слоя).

Полное электрическое сопротивление элемента на поверхности цилиндра длиной , шириной и глубиной много больше с постоянными параметрами (r=const, m=const), так же как и для полубесконечной среды: