2015-04-01
976
При решении электромагнитной задачи для цилиндра из ферромагнитного материала, имеющего на поверхности слой 
(индекс «к» означает нагретый до температуры выше точки Кюри), у которого 
=1, если поверхностный эффект ярко выражен (
), могут быть использованы результаты, полученные в работах [1, 3] для полубесконечной среды, на поверхности которой слой глубиной 
нагрет до температуры выше температуры магнитных превращений (
=1).
При расчете параметров электромагнитного поля в системе индуктор – цилиндр из ферромагнитного материала, имеющий на поверхности слой, нагретый до температуры выше точки Кюри, все параметры для первого слоя цилиндра, где =1, обозначены с индексами «21» (
, 
, 
и т.д.), что означает первый слой (индекс «1») цилиндра (индекс «2»), а для второго слоя — с индексами «22» (
, 
, 
и т.д.), что означает второй слой (индекс «2») цилиндра (индекс «2»).
Тогда отношения напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности тока в любой точке первой среды к значению этих величин на поверхности цилиндра имеет вид [1, 3]:
,
где 
, 
, 
— комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного, электрического полей и плотности тока внутри первого слоя глубиной ( =1) на расстоянии 
от поверхности цилиндра; 
, 
, 
— комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного и электрического полей и плотности тока на поверхности цилиндра; параметр 
; — глубина проникновения тока в материал цилиндра (индекс «2») в первом слое (индекс «1»), т.е. для параметров среды 
=1 и 
первого слоя ( — величина расчетная, чисто условная, т.к. толщина первого слоя , нагретого до температуры выше температуры магнитных превращений, меньше : < ), определяется по формуле:
,
— коэффициент, учитывающий изменение параметров 
и на границе первого и второго слоя; определяется по формуле:
,
где 
— параметр для второго слоя, определяемый по формуле:
,
и 
— магнитная проницаемость и электропроводность второго слоя цилиндра.
После подстановки выражений для 
и в формулу получаем:
.
При 
и =1 формула упрощается:
.
Из формулы полезно также получить выражение для :
.
Модули отношений параметров электромагнитного поля, приведенных в формуле, равны:
.
Распределение напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности тока во втором слое описываются выражениями –.
На рис. 1.5 приведены распределения плотности тока по сечению, которые справедливы для двух сред плоского нагреваемого предмета и цилиндра при ярко выраженном поверхностном эффекте для трех различных глубин нагрева: кривые 1 и 2 для первой среды рассчитаны по формуле, кривая — 3 по формуле без учета влияния второй среды. Распределение тока во второй среде построены по формуле в предположении, что 
и 
.
Из рис. 1.5 видно, что наличие второй среды оказывает значительное влияние на распределение плотности тока в нагреваемом слое (сравн. кривые 1,2 и кривую 3, рассчитанную без учета второй среды).
Влияет наличие второй среды и на полное электрическое сопротивление двухслойной среды. Полное электрическое сопротивление элемента длиной 
, шириной 
и глубиной много больше на поверхности двухслойной среды:
,
где 
и 
— комплексное значение и модуль полного электрического сопротивления первой среды в предположении, что 
, т.е. первая среда занимает все пространство и вторая среда отсутствует; определяются по формулам:
и 
;
и 
— комплексное значение и модуль параметра, учитывающего влияние второй среды (при =1); 
— угол, на который напряженность магнитного поля в первом слое двухслойной среды отстает от напряженности электрического поля (при 
).
Рис. 1.5. Распределение плотности тока по сечению нагреваемого предмета: а) —  ; б) —  ; в) —  (1 —  ; 2 —  ; 3 — не учтено влияние второй среды, обладающей магнитными свойствами) |
Параметр определяется выражением
и
.
При 
=4p·10–7 Гн/м и 
=10–6 Ом·м получим:
,
, 
.
После этого получим для цилиндра диаметром 
и длиной :
,
.
Для того, чтобы определить параметры 
, 
и 
, необходимо определить напряженность магнитного поля на поверхности среды. Воспользуемся формулой и определим удельную мощность, отнесенную к площади поверхности цилиндра.
Вначале определим мощность, выделяемую в детали. По закону Джоуля–Ленца она равна:
.
Ток, протекающий в цилиндре, может быть связан с напряженностью магнитного поля на его поверхности с помощью закона полного тока:
.
Тогда:
.
Тогда удельная мощность, отнесенная к площади поверхности цилиндра, будет равна:
.
Отсюда:
.
Затем, задаваясь несколькими значениями , а значит и 
на поверхности второй среды, определяем по табл. П.3–П6 Приложения значения , и и затем напряженность магнитного поля 
на поверхности второй среды (
) и 
(табл. П.7). Затем на графике 
и определяем точку, где 
и для определенного значения определяем и затем параметры , и , что позволяет определить активное и реактивное сопротивления ферромагнитного цилиндра, имеющего на поверхности слой глубиной , нагретый до температуры выше температуры магнитных превращений по формулам и.
Полученное распределение плотности тока для двухслойной среды (рис. 1.5) может быть заменено для теплового расчета более простым — постоянным в слое, глубина которого 
равна:
,
,
, и 
зависят от 
и относительной магнитной проницаемости на границе двух сред.
1.2.3. Распределение параметров электромагнитного поля в цилиндре при не ярко выраженном поверхностном эффекте (0,1 R 2 < D2 < 0,4 R 2)
При сквозном нагреве под пластическую деформацию все сечение должно быть прогрето до температуры 900–1250 °С, в связи с чем в конечной стадии нагрева весь металл становится немагнитным.
Для того, чтобы обеспечить равномерный и быстрый нагрев, частоту приходится выбирать таким образом, чтобы горячая глубина проникновения тока 
была сравнительно близка к радиусу 
нагреваемого цилиндра. Поэтому при сквозном нагреве поверхностный эффект нельзя считать ярко выраженным, а электромагнитную волну плоской, как это делалось нами при рассмотрении поверхностной закалки.
В работе [3] (гл. 5, стр. 189–195) рассмотрены электромагнитные процессы и определены распределения напряженностей магнитного (
) и электрического (
) поля и плотности тока (
) в цилиндре при не ярко выраженном поверхностном эффекте. Они имеют следующий вид:
,
,
.
Так как 
, а 
, то выражения – можно представить в виде:
,
,
.
Здесь 
— относительная координата точки в нагреваемом цилиндре, в которой определяются , , ; 
— радиальная координата этой точки (
); 
— относительная координата точки на поверхности цилиндра (
), определяется по формуле:
,
 |
| Рис. 1.6. Распределение плотности тока по сечению металлического цилиндра |
— глубина проникновения тока в полуограниченное металлическое тело с плоской поверхностью или в материал цилиндра при ярко выраженном поверхностном эффекте 
); 
и 
— символы функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.
Функции 
, 
, 
, 
позволяют разделить вещественные и мнимые величины комплексных функций 
и 
.
На рис. 1.6 приведено распределение плотности тока по сечению цилиндра при различных значениях . Из кривых видно, что уже при 
, что соответствует 
, зависимость 
близка к линейной. При этом и напряженность магнитного поля почти постоянна.
При 
(высокая частота):
.
 |
| Рис. 1.7. Обозначения радиальных координат |
Тогда при 
(
), учитывая, что 
(рис. 1.7), получаем:
,
.
При 
, т.е. при 
(низкая частота):
и 
.
Тогда: 
и
.
Таким образом, для напряженность магнитного поля приблизительно постоянна по всему сечению, а плотность тока уменьшается от 
до нуля при R = 0 по линейному закону.
Ток, наведенный в металлическом цилиндре, нагревает его. Распределение температуры в цилиндре зависит от распределения плотности тока, т.е. от распределения в цилиндре источников тепла.
Электрическое сопротивление цилиндра диаметром и длиной (при 
) равно [1, 3]:
,
,
где 
— коэффициент, учитывающий изменение активного сопротивления цилиндра при не ярко выраженном поверхностном эффекте; определяется по формуле:
,
— коэффициент, учитывающий изменение внутреннего индуктивного сопротивления цилиндра при не ярко выраженном поверхностном эффекте; определяется по формуле:
.
Выражения и можно записать в более удобном виде:
,
,
где 
и 
— коэффициенты, учитывающие степень проявления поверхностного эффекта (при ярко выраженном поверхностном эффекте и равны 1), они определяются по формулам:
, 
.
Значения коэффициентов и приведены в табл. П.9.
