Решение. 1) Пусть событие А состоит в том, что студент ответит правильно на вопрос из первого раздела

1) Пусть событие А состоит в том, что студент ответит правильно на вопрос из первого раздела. .

Событие В – студент ответит верно на вопрос второго раздела: . Вероятность события В не зависит от того, ответит студент или нет на вопрос из первого раздела. События А и В независимы.

Событие АВ – студент ответит правильно на оба вопроса.

По теореме умножения вероятностей независимых событий (1.6):

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,5·0,8=0,4.

2) Событие "Студент ответит правильно только на один вопрос" раскладывается на элементарные события: (студент ответит правильно на вопрос из первого раздела и неправильно на вопрос второго раздела или ответит неправильно на вопрос первого раздела и правильно на вопрос второго раздела).

Событие - студент ответит неправильно на вопрос первого раздела. .

Событие - студент ответит неправильно на вопрос второго раздела. .

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий, получим: .

3) Событие А+В – студент ответит правильно хотя бы на один вопрос.

Вероятность события А+В можно найти тремя способами.

1 способ решения.

Событие А+В возможно разложить на элементарные события: . Тогда:

2 способ решения. Событие А+В противоположно событию - студент не ответит на вопросы обоих разделов. Воспользуемся формулой (1.7):

.

3 способ решения. Так как события А и В совместные и независимые, воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух совместных событий (1.4).

Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ) = 0,5 + 0,8 - 0,5·0,8 =0,9.

1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема. Если событие В может наступить только при условии появления одного из событий (гипотез) А₁, А₂,…, А_n, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события В равна сумме произведений вероятностей каждого из событий А₁, А₂,...,А_n на соответствующую условную вероятность события В:

или

. (1.8)

Эту формула называется формулой полной вероятности.

Если до опыта (или испытания) вероятности гипотез были Р(А₁), Р(А₂),…, Р(А_n), а в результате опыта появилось событие В, то с учетом этого события условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

. (1.9)

Пример 1.6. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,1 и 0,9. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 - для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар? Какова вероятность того, что он купил товар в первом магазине?