Функциональные свойства суммы сходящегося ряда

По функциональному ряду построим последовательность частичных сумм:

Определение. Предел последовательности частичных сумм называют суммой функционального ряда: . Если при каждом , функциональный ряд сходится, то .

Определение. Говорят, что сходящийся функциональный ряд равномерно сходится на отрезке к функции , если для найдется не зависящий от x номер такой, что при выполняется неравенство , .

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам , где - члены сходящегося числового ряда , то ряд сходится на равномерно.

Теорема 2 (Непрерывность суммы функционального ряда). Пусть непрерывны на отрезке , и ряд сходится на равномерно. Тогда сумма этого ряда непрерывна на .

Теорема 3 (Почленный переход к пределу). Если выполнены условия теоремы 2, то для существует предел суммы функционального ряда , и он равен .

Теорема 4 (Почленное интегрирование). Пусть непрерывны, и пусть ряд сходится на равномерно. Тогда сумма ряда интегрируема, причем .

Теорема 5 (Почленное дифференцирование). Пусть непрерывно-дифференцируемы на отрезке , и на этом отрезке ряды и сходятся равномерно. Тогда сумма ряда имеет на непрерывную производную, при этом .