Пусть М – множество всех , для которых ряд сходится.
Определение. Число (конечное или бесконечное) называют радиусом сходимости ряда.
Если , то для всех таких, что: - ряд абсолютно сходится, а если ряд расходится. Если , то ряд абсолютно сходится при всех .
Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по одной из формул: , или .
Пример. Найти область сходимости ряда .
Решение. В данном случае коэффициенты степенного ряда: . Воспользуемся формулой
= . Отсюда следует, что данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.
Пример. Найти область сходимости ряда .
Решение. = Для определения радиуса сходимости удобно воспользоваться другой формулой: . Значит, ряд сходится только в точке и расходится при всех .
Пример. Найти область сходимости ряда .
Решение. = .
Применим признак Даламбера к ряду из модулей членов функционального ряда.
; ;
.
Тогда, при ряд сходится, т.е. область сходимости: , , есть интервал - .
Если , имеем ряд . Этот ряд сходится как обобщеный гармонический при .
|
|
Если , получаем ряд . Этот ряд сходится, так как сходится ряд . Значит, исходный ряд сходится при .