Сходимость ряда Фурье

Теорема 1 (Дирихле). Пусть - периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1) кусочно – непрерывна (т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода);

2) кусочно – монотонна (т.е. либо монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна).

Тогда ряд Фурье, соответствующий функции , сходится на этом отрезке и при этом:

- в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией: ;

- в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна: , т.е. равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева;

- в точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна .

Таким образом, если - периодическая функция непрерывна на отрезке , то имеет место разложение: .