Если для конечного множества А (), то число всех подмножеств множества А равно .
Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счетные множества это множества равномощные N (т. е. между ними и N можно установить взаимно однозначное соответствие).
Утверждение 1: Множество – счетно.
Утверждение 2: Любое бесконечное подмножество множества N – счетно.
Утверждение 3: Множество – счетно.
Следствие: Множество – положительных рациональных чисел – счетно.
Утверждение 4: Множество , где , - счетно.
Утверждение 5: Объединение конечного числа счетных множеств – счетно.
Утверждение 6: Объединение счетного множества конечных множеств – счетно.
Следствие: Множество всех слов конечного алфавита – счетно.
Утверждение 7: Объединение счетного множества счетных множеств – счетно.
Несчетные бесконечные множества называются множествами мощности континуум. (Мощность несчетного бесконечного множества называется континуумом).
Теорема (Кантора): Множество всех действительных чисел отрезка [0, 1] имеет мощность континуума.
|
|
Следствие: Множество всех подмножеств несчетного множества континуально.