N-арная операция на множестве М – это функция типа
,
где n – арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.
Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций , т. е. система
.
М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.
Тип алгебры – вектор арностей операций.
Сигнатура – совокупность операций W.
Множество называется замкнутым относительно n -арной операции на М, если
,
т. е. если значения на аргументе из принадлежат .
Если замкнуто относительно всех операций , алгебры М, то система
называется подалгеброй алгебры А (при этом рассматриваются как операции на ).
Примеры:
1. Алгебра – называется полем действительных чисел.
Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2). Сигнатура .
Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.
2. Пусть . Определим на операции: – «сложение по модулю р», – «умножение по модулю р», следующим образом:
и ,
где с и d – остатки от деления на р чисел а + b и а × b соответственно.
Пусть, например, р = 7, тогда и
, , .
Часто обозначают: a + b = с (mod p) и a × b = d (mod p).
Конечным полем характеристики р называется алгебра , если р – простое число.
3. Пусть задано множество U.
Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается B(U)).
Булева алгебра множеств над U или алгебра Кантора – алгебра B(U), ). Ее тип (2,2,1), сигнатура ().
Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).
Для любого B(), ) – является подалгеброй В.
Например, если , то основное множество алгебры В содержит 16 элементов; алгебра B(), ) – подалгебра В. Ее несущее множество содержит четыре элемента.
4. Множество F одноместных функций на R, т. е. функции вместе с операцией дифференцирования является алгеброй. Элементы несущего множества – функции типа , единственная операция этой алгебры – операция дифференцирования.
Множество элементарных функций замкнуто относительно дифференцирования, поскольку произведение элементарных функций элементарно, следовательно, образуют подалгебру данной алгебры.