2015-04-01
748
N-арная операция на множестве М – это функция типа
,
где n – арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.
Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций 
, т. е. система
.
М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.
Тип алгебры – вектор арностей операций.
Сигнатура – совокупность операций W.
Множество 
называется замкнутым относительно n -арной операции 
на М, если
,
т. е. если значения на аргументе из 
принадлежат .
Если замкнуто относительно всех операций 
, алгебры М, то система
называется подалгеброй алгебры А (при этом рассматриваются как операции на ).
Примеры:
1. Алгебра 
– называется полем действительных чисел.
Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2). Сигнатура 
.
Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.
2. Пусть 
. Определим на 
операции: 
– «сложение по модулю р», 
– «умножение по модулю р», следующим образом:
и 
,
где с и d – остатки от деления на р чисел а + b и а × b соответственно.
Пусть, например, р = 7, тогда 
и
, 
, 
.
Часто обозначают: a + b = с (mod p) и a × b = d (mod p).
Конечным полем характеристики р называется алгебра 
, если р – простое число.
3. Пусть задано множество U.
Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается B(U)).
Булева алгебра множеств над U или алгебра Кантора – алгебра 
B(U), 
). Ее тип (2,2,1), сигнатура 
().
Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).
Для любого 
B(
), ) – является подалгеброй В.
Например, если 
, то основное множество алгебры В содержит 16 элементов; алгебра B(
), ) – подалгебра В. Ее несущее множество содержит четыре элемента.
4. Множество F одноместных функций на R, т. е. функции 
вместе с операцией дифференцирования является алгеброй. Элементы несущего множества – функции типа 
, единственная операция этой алгебры – операция дифференцирования.
Множество элементарных функций замкнуто относительно дифференцирования, поскольку произведение элементарных функций элементарно, следовательно, образуют подалгебру данной алгебры.
