Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.
Значением истинного высказывания является «И» – истина, ложного – «ложь».
Повелительные («Войдите, пожалуйста»), вопросительные («Который час?») и бессмысленные предложения («Сумма пяти и восемнадцати»), в которых ничего не утверждается, не являются высказываниями.
Предметом логики является анализ различных логических связей и методы построения на их основе правильных логических рассуждений.
Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок и способы установления истинности высказываний, построенных таким образом, изучаются в логике высказываний.
Основные логические связки - это связки: и, или, не, если … то …, которые в логике высказываний имеют специальные названия и обозначения. Иногда к ним добавляют еще две связки либо …, либо …(или …, или …); если, и только если (тогда и только тогда).
Для одной и той же связки в разных источниках используются разные названия и обозначения, которые приведены в таблице 1.
Таблица 1
Связка | Название | Обозначение | Высказывание, полученное с помощью связки | Математическая запись |
1. и | конъюнкция (или логическое умножение) | &, Ù, × | А и В | А & В, А Ù В, А × В, АВ |
2. или | дизъюнкция | Ú, + | А или В | А Ú В, А + В |
3. не | отрицание, инверсия | Ø, ¾ | не А | , Ø А |
4. если …, то … | импликация | ®, É | если А, то В (А влечетВ) | |
5. либо …, либо … | исключающее «или», неравнозначность | Å, D, ¹ | либо А, либо В | А Å В, А D В |
6. если и только если | эквивалентность, равнозначность | º, ~, « | А, если и только еслиВ | А º В, А ~ В |
В последней колонке табл. 1 записаны формулы, или выражения логики высказываний. С помощью букв А, В, С,... обозначающих высказывания, связок и скобок можно построить разнообразные формулы.
Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности и является основным предметом логики высказываний.
Существуют два подхода к построению логики высказываний, которые образуют два варианта этой логики: алгебру логики и исчисление высказываний.