Разложение полной дисперсии на факторную, остаточную и дисперсию взаимодействия факторов

Общая модель двухфакторного дисперсионного анализа:

, где

Sобщ - общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней. Характеризует полную вариацию зависимой переменной.

Общая сумма квадратов отклонений определяется аналогично однофакторному дисперсионному анализу (см.формулу (3.1)).

SF1; SF2- факторные суммы квадратов отклонений групповых средних от общей средней. Данные величины характеризует рассеивание между группами и характеризует воздействие факторов F1 и F2 на зависимую переменную X.

Факторные суммы квадратов отклонений SF1и SF2 определяются аналогично однофакторному дисперсионному анализу (см.формулу (2)).

Sост - остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней. Данная величина характеризует рассеивание внутри групп и отражает влияние случайных причин на зависимую переменную.

Остаточную сумму квадратов отклонений находим по формуле:

(3.9)

Эффект взаимодействия двух факторов будет характеризовать составляющая SF1F2. Чем больше ее значение тем сильнее проявление эффекта взаимодействия факторов.

(3.10)

Степень объединенного влияния двух факторов на зависимую переменную называют полным эффектом или множественной корреляцией. Величина полного эффекта определяется по формуле:

(3.11)

На основании расчетов сумм квадратов отклонений рассчитаем:

· факторные дисперсии (S2F1; S2F2);

· дисперсию взаимодействия факторов (S2F1F2);

· полную дисперсию (S2полн);

· остаточную дисперсию (S2ост.).

Для этого разделим соответствующие суммы квадратов отклонений на число степеней свободы:

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

p1 – количество уровней фактора F1;

p2 – количество уровней фактора F2;

q – количество испытаний в группе (наблюдений);

N - общий объем выборки;

(p1–1) – количество степеней свободы первой факторной дисперсии;

(p2–1) – количество степеней свободы второй факторной дисперсии;

((p1–1)*(p2–1)) – количество степеней свободы дисперсии взаимодействия факторов;

(р1р2–1) – количество степеней свободы полной дисперсии

(N–p1p2) – количество степеней свободы остаточной дисперсии.