Понятие интенсивности вихря достаточно абстрактно и вводится чисто математически. Напомним, что потоком векторного поля называют интеграл вида
(5.4)
Поскольку вихрь скорости (ротор) есть вектор, то вместо можно подставить , что и приводит нас к понятию интенсивности вихря, т.е. интенсивность вихря это поток вектора вихря
Рис. 5.1 |
(5.5)
Можно использовать и другую форму записи: ;
(5.6)
Имея в виду, что , можем записать
(5.7)
Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского и перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по объему. Имеем:
.
Раскроем выражение, стоящее под знаком интеграла, имея в виду, что проекции вектора вихря имеют вид:
;
;
.
Имеем
.
Следовательно, можно записать
(5.8)
Заметим, что это выражение по структуре напоминает уравнение неразрывности.
Применим (5.8) к вихревому шнуру (рис. 5.2). На боковой поверхности , так как направлен по касательной к поверхности. Поэтому можем записать
;
.
Если допустить, что в пределах сечения , то
(5.9)
Либо в общем случае
(5.10)
Рис. 5.2 |
т.е. это своеобразное «уравнение неразрывности». Полученный результат носит название теоремы Гельмгольца о вихрях, которую можно сформулировать следующим образом: интенсивность вихревого шнура на всей его протяженности остается постоянной. Из выражения (5.10) следует и другой весьма важный вывод, сделанный Г.Гельмгольцем в 1855 г. в работе «Об интегралах уравнений, соответствующих вихревым движениям».Так как произведение остается неизменным, то уменьшение площади сечения шнура должно приводить к увеличению угловой скорости вращения частиц. При , что физически невозможно. Следовательно, вихрь не может зарождаться либо оканчиваться в толще жидкости. Окончательно развившись, он должен замкнуться либо на твердую поверхность, либо сам на себя, т.е. образовать вихревое кольцо. Подробное описание этого явления можно найти в книге: Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.
Понятие об интенсивности является весьма важным, но, к сожалению, непосредственное определение этой величины экспериментальным путем связано с непреодолимыми трудностями. Кроме того, если пытаться распространить это понятие на вихри конечных размеров, то по аналогии со средней скоростью пришлось бы вводить понятие о средней угловой скорости, что связано с определенными трудностями чисто математического характера. Поэтому гидромеханика избрала другой путь, заменив это понятие другим, более удобным для целей практики. К рассмотрению этого понятия, называемого циркуляцией скорости, мы и приступим.