Очевидно, что линейные деформации частицы (рис. 4.8) могут возникнуть в результате различия в скоростях, совпадающих с направлением ребер. Как и ранее, компоненты скорости в точке A - , , .
Вдоль оси x:
Точка A:
Рис. 4.8 |
Точка D:
Разность скоростей, вызывающая удлинение ребра AD: . Удлинение частицы за время dt
(4.28)
Относительное удлинение
(4.29)
Скорость относительного удлинения
(4.30)
Аналогично для других осей
;
Если процесс происходит одновременно вдоль всех осей, то это приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Таким образом, объемная деформация сводится к изменению первоначального объема параллелепипеда на величину за счет растяжения либо сжатия ребер. При этом , и с учетом (4.28) . Аналогично и . Таким образом
Скоростью относительной объемной деформации назовем отношение изменения объема к его первоначальному объему и скорости деформации, т.е.
.
Если , то это означает, что , т.е. деформация жидкой частицы происходит без изменения ее объема. В этом и заключается гидромеханический смысл равенства нулю дивергенции.
Полученную выше связь между поступательной и вращательной скоростями жидкой частицы можно получить и более коротким путем, представляющим определенный интерес. Разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному пониманию. Поэтому рассмотрим этот путь.
Пусть жидкая частица вращается вокруг оси z с угловой скоростью . Запишем выражение для ротора в проекциях на оси координат (см. формулу 1.8). Имеем:
Рис. 4.9 |
Рассмотрим точку M на жидкой частице (рис. 4.10).
Линейная скорость этой частицы . Запишем выражения для проекций скоростей на оси координат:
;
;
Откуда находим ; .
Рис. 4.10 |
Таким образом
Аналогично для двух других компонент
;
Либо в векторной форме
что полностью совпадает с (4.26).
Движение, при котором называют вихревым, при - безвихревым либо потенциальным. Из чего следует, что если течение вихревое, то движение жидких частиц происходит с вращением.