Цепи с гармоническими сигналами

7.1. Гармонический сигнал

Гармонический сигнал записывают в виде

, (7.1)

где - амплитуда сигнала (индекс от слова «максимум»), - круговая частота, а - начальная фаза. Временная диаграмма гармонического сигнала показана на рис. 7.1.

Рис. 7.1

Амплитуда гармонического сигнала – это его максимальное значение, она измеряется в единицах сигнала (вольтах для напряжения и амперах для тока).

Период сигнала (рис. 7.1) определяет циклическую частоту его повторения,

, (7.2)

измеряемую в герцах (Гц). Ее физический смысл – число периодов колебаний в секунду.

Аргумент косинуса в (7.1) вида

(7.3)

называют полной фазой колебания, она пропорциональна текущему времени и измеряется в радианах или градусах.

Круговая частота равна

(7.4)

и представляет собой число радиан, на которое изменяется полная фаза колебания в единицу времени (1 с).

При полная фаза равна , поэтому параметр называют начальной фазой гармонического сигнала. Она измеряется в радианах или градусах. Так как период функции равен или 360⁰, то начальная фаза оказывается многозначной величиной. Например, значения начальной фазы 30⁰ и (30⁰+360⁰)=390⁰, а также (30⁰-360⁰)=-330⁰ оказываются эквивалентными. Для устранения неоднозначности договариваются, что значения начальной фазы должны находиться, например, в интервале от 0 до , или от до (аналогичные границы могут быть заданы в градусах).

Начальная фаза связана со смещением гармонического сигнала во времени на величину относительно функции , как показано на рис. 7.1. Функция смещена влево относительно , а - вправо. Положительные значения отсчитываются в сторону увеличения , а отрицательные – наоборот. Из (7.1) можно записать

, (7.5)

где смещение во времени равно

. (7.6)

Тогда для начальной фазы получим

. (7.7)

Как видно, начальная фаза определяется временным сдвигом гармонического сигнала относительно функции . При сигнал смещается вправо (позднее сигнала ) по оси времени, при этом его начальная фаза , а если , то временная диаграмма смещается влево (раньше ) по оси времени, а .

Величина начальной фазы зависит от начала отсчета времени (положения точки ). При смещении начала отсчета времени изменяется и начальная фаза.

Применительно к двум гармоническим сигналам и с разными начальными фазами и вводится в рассмотрение сдвиг фаз между первым и вторым сигналами,

. (7.8)

На рис. 7.2 показаны два гармонических сигнала с начальными фазами и , причем и . В этом случае говорят, что первый сигнал опережает по фазе второй или второй сигнал отстает по фазе от первого.

Сдвиг фаз связан со смещением сигналов во времени

, (7.9)

положительные значения временного сдвига отсчитываются в направлении оси времени. Гармоническое колебание может быть задано в нетипичной форме, которую необходимо преобразовать к виду (7.1), иначе начальная фаза

Рис. 7.2 оказывается неопреде-

ленной. Примеры преобразования показаны в табл. 7.1.

Таблица 7.1.

Исходный сигнал	Преобразованный сигнал	Начальная фаза

7.2. Схемотехническое моделирование

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 7.3 при e(t) = E sin(wt), E = 1 В, R_e = 1 кОм, f = 50 кГц, рад/с.

Рис. 7.3

Построим модель цепи в программе MicroCAP, показанную на рис. 7.4.

Рис. 7.4

На рис. 7.5 показаны временные диаграммы напряжений источника e(t) (кривая с самой большой амплитудой), напряжения в узле 2 (на емкости и сопротивлении ) и напряжения на сопротивлении .

Рис. 7.5

По кривым на рис. 7.5 определяются амплитуды напряжений и их сдвиги во времени относительно напряжения источника, значения которых приведены в табл. 7.2.

Начальные фазы связаны со сдвигом во времени соотношением

результаты расчетов приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Элемент	U, В	мкс	рад
V1
	0,29		0,785
,	0,85	-2,5	-0,314

Уравнение второго закона Кирхгофа имеет вид

Обозначим левую часть уравнения

При точных расчетах выполняется условие , а при приближенных (округленных) результатах моделирования появляется погрешность , которую можно представить графически. Программа расчета в программе MathCAD показана на рис. 7.6, а результаты - на рис. 7.7.

Аналогичные результаты необходимо получить для токов в элементах цепи и проверить выполнение первого закона Кирхгофа. Требуется исследовать фазовые соотношения между токами и напряжениями в элементах цепи.

Рис. 7.6

Рис. 7.7

Как видно, временные диаграммы напряжений в верхней части рис.7.7 совпадают с результатами моделирования. Из графика в нижней части рис. 7.7 следует, что погрешность выполнения второго закона Кирхгофа меняется по гар-

моническому закону с амплитудой 0,06 В (6 % от амплитуды напряжения источника), что обусловлено погрешностями измерения амплитуд и начальных фаз напряжений по результатам моделирования.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица двоичных кодов номера студента