Метод CPM (Critical Path Method) – метод критического пути

Исторически этот метод является первым из числа перечисленных методов СПУ, нашедших впоследствии широкое применение. Он был разработан в США, в 1956 – 1957 гг., М. Уолкером из фирмы «Дюпон» и Д. Келли из группы планирования капитального строительства фирмы «Ремингтон Рэнд». Эти специалисты поставили своей целью использовать ЭВМ для составления планов-графиков крупных комплексов работ по модернизации заводов фирмы «Дюпон». В результате был создан рациональный и достаточно простой метод описания проекта с использованием ЭВМ, который первоначально был назван методом Уолкера-Келли, а позже получил название метода критического пути.

Особенности рассматриваемого метода заключаются в следующем:

1. Используется сеть типа «дуга – работа».

2. Сеть рассматривается как детерминированная. В первую очередь это означает, что длительность каждой работы устанавливается на основе нормативов (длительности, трудоемкости) и рассматривается как окончательно определенная величина, имеющая единственное значение. Это же относится к длительности и срокам выполнения проекта в целом. В то же время длительности работ и проекта могут корректироваться при проведении оптимизации первоначально сформулированного варианта сети.

Основные временные показатели сетевого графика, построенного с использованием метода CPM, определяются на основе следующих соотношений [4]:

· Длительность каждой работы t_{(i - j)}, если она не задается в качестве норматива:

t_{(i - j)} = Q_{(i - j)} / (A_{(i - j)}·f), (1.1)

где i, j – начальное и конечное события работы E(i - j);

Q_{(i - j)} – трудоемкость работы, чел/дн.;

A_{(i - j)} ·- количество исполнителей, занятых выполнением работы E(i - j);

f – коэффициент перевода (при необходимости) рабочих дней в календарные, f = 0,85 для пятидневной рабочей недели или f = 1,0, если перевод в календарные дни не требуется.

· Длительность (длина) любого пути равна сумме длительностей составляющих его работ:

T(L) = Σ t_{(i – j)} (1.2)

· Длительность (длина) критического пути определяется на основе сравнения длительности всех полных путей сети и выбора максимального значения:

Т_кр = max{Т(L)} (1.3)

Длительность критического пути определяет длительность проекта в целом.

· Раннее время свершения события t_p(i) определяется на основе сравнения длительности всех путей сети от начального события до данного:

t_p(i) = max{T(L_1(i))}, (1.4)

где t_p(i) - раннее время свершения события i;

L_1(i) – путь, предшествующий событию i.

· Позднее время свершения события t_п(i) определяется на основе сравнения длительности всех путей сети от данного события до конечного:

t_п(i) = Т_кр - max{T(L_2(i))}, (1.5)

где t_п(i) – позднее время совершения события i;

L_2(i) – последующий путь;

Т_кр – критическое время (длина критического пути).

Для критического пути t_p(i) = t_п(i), (1.6)

· Время раннего начала работы t_{рн(i - j)} совпадает с ранним временем свершения события i:

t_{рн(i - j)} = t_p(i), (1.7)

где t_{рн(i - j)} – время раннего начала работы E(i – j);

t_p(i) - раннее время свершения события i.

· Время позднего начала работы t_{пн(i - j)}:

t_{пн(i - j)} = t_{по(i - j)} - t_{(i - j)} , (1.8)

где t_{пн(i - j)} – время позднего начала работы E(i – j);

t_{по(i - j)} – время позднего окончания работы E(i – j);

t_{(i - j)} – длительность работы E(i – j).

· Время раннего окончания работы t_{po(i - j)}:

t_{ро(i - j)} = t_р(i) + t_{(i - j)}, (1.9)

где t_{ро(i - j)} – время раннего окончания работы E(i – j);

t_{(i - j)} – длительность работы E(i – j);

t_р(i) – раннее время свершения события i.

· Время позднего окончания работы t_{по(i - j)} совпадает с поздним временем свершения события j:

t_{по(i - j)} = t_п(j) , (1.10)

где t_{по(i - j)} – время позднего окончания работы E(i – j);

t_п(j) – позднее время свершения события j.

Для критического пути характерны следующие соотношения:

t_{рн(i - j)} = t_{пн(i - j)}, (1.11)

t_{ро(i - j)} = t_{по(i - j)}, (1.12)

· Общий (полный) резерв времени работы R_{(i - j)}:

R_{(i - j)} = t_{по(i - j)} – t_{ро(i - j)} = t_{п (j)} – t_р(j) - t _{(i - j)} (1.13)

· Свободный (частный) резерв времени работы r_{(i - j)}:

r_{(i - j)} = t_р(j) – t_{ро(i - j)} = t_р(j) – t_р(i) - t _{(i - j)} (1.14)

· Резерв времени события r_(i):

r_(i) = t^п _(i) – t^р_(i) (1.15)

В качестве единиц времени при определении показателей сетевого графика как правило используются дни, недели, декады или месяцы.

Пример сети, формируемой при использовании данного метода, представлен выше на рис. 1.3.

Метод PERT (Program Evaluation and Review Technique) – технология оценки и просмотра плана.

Метод PERT был разработан корпорацией «Локхид» и консалтинговой фирмой «Буз, Аллен энд Гамильтон» в 1958 г. для реализации проекта разработки ракетной системы «Поларис», объединявшего около 3800 основных подрядчиков и состоявшего из 60 тыс. операций (работ).

Особенности метода заключаются в следующем:

1. Используется сеть типа «дуга – работа».

2. Формируемая на основе данного метода сеть является стохастической (вероятностной) в отношении длительности работ и проекта в целом.

Длительность каждой работы E(i – j) экспертно задается в этом случае с использованием трех оценок:

- минимальной (оптимистической) оценки длительности работы t_{min(i - j)}, которая определяется наиболее коротким из всех возможных сроков ее выполнения. Вероятность того, что работа кончится еще раньше, не превышает 1%;

- наиболее вероятной длительности работы t_{нв(i - j),} определяемой наиболее вероятным сроком ее окончания;

- максимальной (пессимистической) оценки длительности работы t_{max(i - j),} определяемой наиболее длительным из всех возможных сроков ее выполнения. Вероятность того, что работа кончится еще позже, не превышает 1%.

Экспертами, как правило, являются будущие исполнители работ.

В методе PERT принимается бета-распределение вероятностей длительности работ с модой (наиболее вероятным значением) в точке t_{нв(i - j)} и концами в точках t_{min(i - j)} и t_{max(i - j)}. Для расчета ожидаемой длительности (математического ожидания длительности) работы при использовании метода PERT применяется следующая формула:

t_{ож(i - j)} = (t_{min(i - j)} + 4 t_{нв(i - j)} + t_{max(i - j)}) / 6 (1.16)

Ожидаемые значения остальных временных показателей определяются по представленным выше формулам (1.2 – 1.15).

На основе четырех оценочных показателей длительности работ (t_{min(i - j)}, t_{нв(i - j),} t_{max(i - j)} и t_{ож(i - j)} ) могут быть сформированы четыре основные версии сетевой модели с разными по длительности критическими путями, а, следовательно, разными оценками длительности проекта в целом ‒ минимальной (оптимистической), наиболее вероятной, максимальной (пессимистической) и ожидаемой (T_min, T_нв, T_max и T_ож) и сроков его реализации.

Сетевая модель, сформированная на основе результатов расчета ожидаемой длительности задач проекта, может рассматриваться в качестве обобщающей, а остальные модели – как дополняющие локальные.

Для стохастической сети данного вида проводится расчет дополнительных временных показателей, направленных на оценку возможного разброса длительности и сроков выполнения отдельных работ и проекта в целом. Адекватной бета-распределению вероятностей является экспертная оценка длительности (и сроков) выполнения работ и проекта в целом. Разброс длительности в этом случае определяется как разность между пессимистическим (максимальным) и оптимистическим (минимальным) ее значением:

а) для работы проекта:

Δ t_{(i - j)} = t_{max(i - j)} - t_{min(i - j)} (1.17)

а) для проекта в целом:

Δ T = T_max - T_min (1.18)

Относительный недостаток экспертной оценки разброса заключается в том, что разброс длительности работы (проекта) в связи с действием фактора неопределенности может превышать непосредственно величину ожидаемой их длительности или, по крайней мере, быть соизмеримым с ней. Это делает оценку разброса длительности проекта и сроков его реализации недостаточно корректной. В то же время можно утверждать, что вероятность попадания длительности проекта в «интервал разброса» практически равна 1 (если не принимать во внимание форс-мажорные обстоятельства).

Если мода и математическое ожидание близки по своему значению, то можно воспользоваться статистическими оценками разброса длительностей и сроков реализации проекта, принятыми для нормального распределения вероятностей, – среднеквадратическим отклонением и дисперсией длительности работы, а также проекта в целом [1]. Принимается, что размах колебаний (разброс) длительности работы под влиянием неопределенности равен шести среднеквадратическим отклонениям, т.е. среднеквадратическое отклонение может быть определено по формуле [1, 4]:

σ_{(i - j)} =(t_{max (i - j)} - t_{min (i - j)}) / 6 (1.19)

Дисперсия длительности работы в этом случае равна:

σ_{(i - j)}²=[(t_{max(i - j)} - t_{min(i - j)}) / 6] ² (1.20)

Дисперсия длительности проекта в целом определяется как сумма дисперсий критических работ. Среднеквадратическое отклонение длительности реализации проекта определяется путем извлечения квадратного корня из величины дисперсии проекта. На основе этого по известному в математической статистике правилу «трех сигм»[2] может быть определен возможный разброс длительности (и сроков) выполнения проекта в целом.

Статистическая оценка разброса длительности проекта заметно меньше экспертной в результате того, что попадание длительности проекта в «интервал разброса» при отсутствии форс-мажорных обстоятельств гарантируется с вероятностью 0,997 (что меньше 1, но представляется вполне достаточным). Нетрудно видеть, что для работ проекта экспертный и статистический разброс длительности совпадают, поэтому меньшее значение статистического разброса длительности проекта в целом можно интерпретировать также на основе гипотезы погашения запаздывания одних критических работ досрочным выполнением других.

Пример сети, формируемой с использованием метода PERT, показан выше на рис. 1.3 (внешне она не отличается от сети, построенной с использованием метода CPM).