Дифференциальное уравнение (2) называется однородным, если функция f(x; y) является однородной функцией нулевого порядка

Функция является однородной функцией нулевого порядка, если f(lx, ly) = f(x, y) = y(y/x). Однородное дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены y/x = u, откуда y′ = xu′ + u. Подставляя эти выражения в (2), получим xu′ + u = y(u), т.е. xu′ = y(u) – u. Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение с разделяющими переменными.

Если уравнение имеет дифференциальную форму (3), то оно называется однородной, если P(x; y) и Q(x; y) являются однородными функциями одинакового порядка: P(lx, ly) = lⁿP(x, y), Q(lx, ly) = lⁿQ(x, y).

И в этом случае однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной y/x = u, откуда dy = udx + xdu.

Уравнение y′ = f((ax + by + c)/(dx + ey + f)), где а, b, с, d, e, f – действительные числа, сводится к уравнению с разделяющимися переменными после замены переменных x = u + α и y = v + β, где α и β - числа. Числа α и β находятся из уравнений a α + b β + c = 0, d α + e β + f = 0, которые получаются из следующих соотношений: ax + a α + by + b β + c = ax + by, dx + d α + ey + e β + f = dx + ey.

@ Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения (x ² – y ² )dx + 2xydy = 0.

Решение: После замены переменной y/x = u получим уравнение x ² ( 1 + u ² )dx + 2x ³ udu = 0. После почленного деления уравнения на x³( 1 + u ² ) получаем: , которое легко интегрируется: ln/x/ + ln( 1 + u ² ) = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: x ² + y ² = cx.