Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Общий вид уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:

P₁(x)Q₁(y)dx + P₂(x)Q₂(y)dy =0.

Дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных.

После почленного деления уравнения на Q₁(y)P₂(x) ¹ 0 получается дифференциальное уравнение с разделенными переменными, т.е. появляется возможность его интегрирования. После интегрирования получаем общее решение дифференциального уравнения:

,

где с – произвольная постоянная.

При проведении почленного деления дифференциального уравнения на Q₁(y)P₂(x) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q₁(y)P₂(x) = 0 и установить решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего уравнения. Они называются особыми решениями.

Уравнение y′ = f(ax + by + c), где а, b, с – действительные числа, сводится к уравнению с разделяющимися переменными после замены переменных ax + by + c = u. После дифференцирования a + by¢ = u¢, a + bf(u) = u¢, получим уравнение .

@ Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

2yxdx – ( 1 + x ² )dy = 0.

Решение: После почленного деления уравнения на y(1 + x ² ) получаем: , которое легко интегрируется: ln/y/ – ln( 1 + x ² ) = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y = с( 1 + x ² ).

Уравнение y( 1 + x ² ) = 0 позволяет найти особое решение дифференциального уравнения: y = 0.

@ Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:

при y (1) = 1.

Решение: После почленного деления уравнения на y получаем: . Остается только интегрировать уравнение: ln/y/ + ln/x/ = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , а частное решение равно .