Примеры решения типовых задач. Задача 2.1 В интегродифференцирующем контуре постоянного тока (см

Задача 2.1 В интегродифференцирующем контуре постоянного тока (см. рисунок 2.3), применяемом для коррекции ЭЦ и САУ, определить напряжение , построить его график, если: , , мкФ, мкФ.

Решение: Определяют независимые начальные условия — напряжения на емкостях. До коммутации ключ был разомкнут, напряжение наемкостях отсутствовало: .

Эквивалентная операторная схема после коммутации имеет вид (см. рисунок 2.4).

Рисунок 2.3 Рисунок 2.4

Находят изображение выходного напряжения :

(2.6)

После подстановки числовых значений, получают:

(2.7)

Оригинал определяют по теореме разложения:

График напряжения построен в среде Mathcad (см. рисунок 2.5).

Рисунок 2.5

Задача 2.2 Электрическая цепь (см. рисунок 2.6), в которой действует источник постоянной ЭДС =, находится в установившимся режиме. Параметры цепи:Ом, Ом, Ом, мГн, С=0,7 мкФ. В момент времени t=0 путем замыкания ключа К в цепи осуществляется коммутация. Определить ток после замыкания ключа.

Рисунок 2.6

Решение: 1)Определение независимых начальных условия (ННУ): и .ННУ определяют путём расчета установившегося режима в цепи до коммутации. Установившийся режим до коммутации создается постоянной ЭДС, поэтому на схеме индуктивность заменяется коротко замкнутым участком, а ёмкость размыкается (см. рисунок 2.7).

Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости до коммутации найдём по формулам:

А; В.

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

Независимые начальные условия определим по законам коммутации:

(2.8)

2) Составление эквивалентной операторной схемы.

Эквивалентная операторная схема (см. рисунок 2.8) составляется для цепи после коммутации. При составлении операторной схемы i(t), u(t), e(t) заменяют их операторными изображениями: Индуктивность и ёмкость заменяют эквивалентными операторными схемами:

3) Определение изображения искомой величины

Изображение можно определить, используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, МКТ, МУП, МЭГ и т.п.

Изображение тока проще всего определить методом контурных токов:

(2.9)

Из системы (2.9) находят:

Изображение тока вычисляют по формуле:

(2.10)

где

Определяют корни характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, ток находят по теореме разложения:

. (2.11)

Рассчитывают:

Подставляют значения в формулу (2.11):

Переходный ток равен:

Примечание.

Если в рассматриваемой схеме требуется найти напряжение на ёмкости , то для определения изображения более рационально применить метод двух узлов.

Рисунок 2.9

(2.12)

Задача 2.3 Электрическая цепь (см. рисунок 2.10) содержит источник синусоидальный ЭДС , резистивные сопротивления, индуктивность, емкость и находится в установившимся режиме. В момент времени в цепи происходит коммутация (ключ замыкается). Определить ток после коммутации.

Рисунок 2.10

Значения ЭДС и параметров цепи: В, , , Ом, Ом, Ом.

Решение: При расчёте переходных процессов в электрической цепи с синусоидальным источником ЭДС операторным методом целесообразно применить метод наложения: принужденные токи и напряжения определяются путем расчёта установившихся режимов в цепи после коммутации комплексным методом (как в классическом методе), а свободные токи и напряжения определяются операторным методом.

1) Определяют независимые начальные условий (ННУ): , .

Независимые начальные условия определяются путём расчёта установившегося режима в цепи до коммутации. Установившийся режим до коммутации создаётся источником синусоидальной ЭДС и при расчёте применяется комплексный метод (см. рисунок 2.11).

Рисунок 2.11 Рисунок 2.12

Комплексная амплитуда ЭДС: ;

Индуктивное и ёмкостное сопротивления: Ом;

Ом;

Комплексное сопротивление всей цепи до коммутации равно: Ом.

Комплексную амплитуду тока и напряжение определяют по закону Ома.

(2.13)

(2.14)

Записывают мгновенные значения тока на индуктивности и напряжения на ёмкости до коммутации:

; .

Определяют значения тока на индуктивности и напряжение на ёмкости в момент

(4)

Независимые начальные условия , определим по законам коммутации:

(2.15)

2) Рассчитывают установившийся режим в цепи после коммутации, создаваемый источником синусоидальной ЭДС В, комплексным методом (см. рисунок 2.12).Определяют принужденный ток , а также принужденного тока в индуктивности и принуждённого напряжения на ёмкости .

Комплексная амплитуда ЭДС: =22,98+19,84 В.

Комплексное входное сопротивление цепи после коммутации, токи и напряжение равны:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Мгновенные принуждённые токи , и мгновенное напряжение соответственно равны:

(2.21)

(2.22)

(2.23)

3) Определение свободного тока .

Свободный ток определяют операторным методом.

а) Составляют эквивалентную операторную схему для определения , которая содержит только внутренние (расчётные) ЭДС: и не содержит изображение внешнего источника ЭДС . Направление ЭДС совпадает с направлением тока в ветви, направление ЭДС противоположно направлению тока в ветви. Эквивалентная операторная схема представлена на рисунке 2.13.