Многокритериальные задачи

В разделе «Многокритериальные задачи» обсуждается социально-экономическая трактовка анализируемых критериев эффективности подсистем системы в целом, которые интерпретируются как их текущие совокупные активы. (обобщенные чистые активы), определяемые совокупностью материального богатства - чистые активы в принятом в экономике определении), ценности людских и природных ресурсов.

В такой постановке мы опять сталкиваемся с проблемой сочетания формальных и неформальных методов исследования сложных систем.

Выбор свертки критериев – не формальная процедура, носящая ярко выраженный субъективный характер.

Оптимизация выбранного совокупного критерия стандартная (пусть временами и сложная) математическая задача.

Рассматриваются наиболее интересные с практической точки зрения примеры сверток и демонстрируется тщетность попыток изобретения «суперсвертки», претендующей на формализацию понятия самого эффективного способа свертки. Для этого приводится замечательный результата Ю.Б. Герейера о том, что любая функция свертки может быть интерпретирована как суперпозиция максимум пяти видов сверток.

В качестве же методической базы решения многокритериальной задачи предлагается использовать понятие множества эффективных по Парето элементов, конкретный выбор из которого предоставляется ЛПР. Приводятся методы построения такого множества.

Вернемся к схеме согласования интересов (к ее формализуемой части). Функции выигрыша (критерии эффективности) анализируемой социально-экономической системы и подсистем (субъек5тов управления), соответственно и , i =1,2,…, n, можно интерпретировать как текущие совокупные активы, определяемые совокупностью материального богатства («чистые активы» в принятом в экономике определении), ценности людских и природных ресурсов.

Независимо от рассматриваемого уровня иерархии социально-экономической системы (домашнее хозяйство, предприятие, регион, государство) чистые активы субъекта определяют в стоимостном выражении то, что он имеет с учетом только тех активов, которые учитываются на его балансе. Они определяются как сумма балансовых активов (имеющихся ценностей, включая нематериальные активы и дебиторскую задолженность) за минусом кредиторской задолженности субъекта. Это балансовая оценка того, что у него останется, если он продаст все, что имеет, погасит свои долги и получит долги у своих дебиторов.

Второй составляющей совокупных активов субъекта является то, что он имеет в силу того, что включает в себя людские ресурсы, либо имеет с людьми надежные договорные отношения (работник, акционер). При оценке этой составляющей совокупных активов должна учитываться квалификация и другие особенности (состояние здоровья, культурный и интеллектуальный потенциал) людей. Равно как и степень «обладания» экономическим субъектом возможностями людских ресурсов, характер отношений между ними.

Третьей составляющей совокупных активов субъекта является то, что он имеет в силу наличия прав собственности, владения или распоряжения природными ресурсами.

При этом при численной оценке совокупных активов субъекта используются различные экспертно оцениваемые коэффициенты, позволяющие соотнести ценность природных ресурсов, людских ресурсов и чистых активов с учетом степени принадлежности (собственность, владение, распоряжение) природных и людских ресурсов рассматриваемому субъекту.

Например, совокупными активами страны является её национальное богатство, включающее оценки людских и природных ресурсов.

Совокупные активы домашнего хозяйства включают в себя материальную собственность семьи, права собственности, распоряжения или владения природными ресурсами, профессиональную квалификацию и иные достоинства членов семьи.

Совокупные активы предприятия включают его чистые активы, права собственности, распоряжения или владения природными ресурсами, а также оценку потенциала работников и акционеров.

Таким образом, критерии эффективности каждого субъекта включают в себя, по крайней мере, три составляющие:

- оценка экономической эффективности,

- оценка людского потенциала,

- оценка природных ресурсов.

В свою очередь, например, человеческий потенциал складывается из показателей доход, продолжительность жизни, образование и т.д. Определение. Многокритериальной задачей называется набор , где U – множество, а gⁱ – функции, отображающие U в множество действительных чисел .

Целью данной лекции будет рассмотрение способов построения на основе многокритериальной задачи модели операции вида .

Часто такую операцию строят, задавая функцию , и полагая, что . Функцию F в таком случае называют функцией свертки (или просто сверткой) критериев.

Возникает проблема, вызванная присутствием такой неопределенности формулировки целей и соответствующих им критериев эффективности. Математическая модель будет полностью сформулированной, если задать функцию свертки, позволяющей «соизмерять» значения разных видов оценок эффективности.

Аналогичная проблема возникает даже при одном способе оценки эффективности, когда исследуется динамический процесс принятия решений. В этом случае также необходимо соизмерять эффективность системы (и ее подсистем) в различные моменты времени.

Прежде чем перейти к описанию часто используемых на практике способов суперпозиции (соизмерения), критериев заметим, что можно различать два вида целей и соответствующих им критериев эффективности количественные и качественные.

Ранее были рассмотрены количественные цели, заключающиеся в стремлении увеличить, например, величину дохода или уменьшить, например, объем затрачиваемых ресурсов.

Качественные цели могут быть только достигнуты или не достигнуты. Все стратегии, приводящие к достижению цели – оптимальны. В этом случае критерий эффективности (функция выигрыша) принимает два значения. Например, 1, если цель достигнута, 0 – в противном случае.

Приведем примеры сверток

1. Экономический способ свертки. Свертка частных критериев g ¹,…, g^m представляет собой взвешенную сумму М= .

Пусть предприятие выпускает m видов продукции. Критерии g ¹,…, g^m выражают количества продукции каждого из видов, выпущенных предприятием. Доходы предприятия от реализации продукции выражаются сверткой . Коэффициенты свертки в этом случае имеют смысл цен.

Рассмотрим деятельность фирмы за m лет. Если критерии g ¹,…, g^m выражают прибыль фирмы в соответствующие годы, то свертка оценивает суммарную прибыль за весь период. Числа l₁,…l _m в этом случае имеют смысл коэффициентов дисконтирования.

2. Разбиение критериев на удовлетворительные и неудовлетворительные.

Зададим «удовлетворительные» значения критериев эффективности , i =1,2,…, m. Например, минимальные значения желаемых величин доходности и надежности ценных бумаг.

Качественный критерий эффективности вложений в ценные бумаги имеет вид:

M=1, если gⁱ

M=0, в остальных случаях.

Этот вариант может применяться при m=1. При этом количественная цель (увеличение доходности) заменяется качественной – получение доходности, не меньшей некоторой фиксированной величины.

3. Лексикографическая свертка (последовательное достижение частных целей).Пусть даны критерии g ¹,…, g^m, ранжированные в порядке возрастания номеров. Сначала находятся все точки максимума критерия g ¹, из них выбираются те, которые доставляют максимум критерию g ² и так далее. Наконец, из уже отобранных, выбираются те, которые доставляют максимум критерию g^m. Выбранные на последнем этапе стратегии называются точками лексикографического максимума.

Пример. В инвестиционных проектах используются два критерия.