Множества с бинарными операциями

Функцию типа f_n: Mⁿ ® M называют n-арной операцией на множестве M.

Бинарная операция f ₂ называется коммутативной, если для любых элементов a и b выполняется f ₂(a, b)= f ₂(b, a); более привычна инфиксная запись af ₂ b = bf ₂ a.

Операция f ₂ называется ассоциативной, если для любых элементов a, b и c выполняется af ₂(bf ₂ c)=(af ₂ b) f ₂ c.

Операция f ₂ называется дистрибутивной слева относительно операции g ₂, если для любых a, b, c выполняется af ₂(bg ₂ c)=(af ₂ b) g ₂(af ₂ c), и дистрибутивной справа, если (ag ₂ b) f ₂ c =(af ₂ c) g ₂(bf ₂ c).

Алгеброй A называют совокупность множества M с заданными на нем операциями S ={ f ₁, f ₂, …}. A =< M, S >, где M – носитель, S – сигнатура алгебры A.

Алгебраическая система отличается от алгебры тем, что на множестве кроме операций задаются еще отношения.

Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, в которых множество отношений пусто.

Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Алгебра вида A =< M,·>, где · - бинарная операция, называется группоидом.

Полугруппой называется алгебра A =< M,·> такая, что для любых a, b, c Î M выполняется

a ·(b · c)=(a · b)· с, (1)

т.е. операция · ассоциативна.

Коммутативной (абелевой) полугруппой называется алгебра A =< M,·> такая, что выполняется (1) и для любых a, b Î M выполняется

a · b = b · a, (2)

т.е. операция · коммутативна.

Другими словами коммутативной полугруппой называется полугруппа, в которой выполняется закон коммутативности.

Группой называется алгебра A =< M,·> такая, что

1) выполняется (1);

2) есть e Î M, такой, что для любого a Î M выполняется

e · a = a, a · e = a; (3)

3) для всех a Î M существует такой элемент a ¢Î M, что

a ¢· a = e. (4)

Коммутативной (абелевой) группой называется алгебра A =< M,·> такая, что выполняется (1),(2),(3) и (4).

Другими словами коммутативной группой называется группа, в которой выполняется закон коммутативности.

Если бинарную операцию · называют умножением, то группа называется мультипликативной. В этом случае элемент e называют единицей (обозначение 1), элемент a ¢ называется обратным элементом (обозначение a ^-1).

Если же групповую операцию · называют сложением, то группа называется аддитивной. В этом случае элемент e называют нулем (обозначение 0), элемент a ¢ называется противоположным элементом (обозначение - a).

Кольцом называется алгебра A =< M, f ₂, g ₂>, где f ₂ - умножение, обозначим *, g ₂ –сложение, обозначим +, и выполняются следующие условия:

1) условия (1),(2),(3),(4) относительно операции сложения (в качестве операции · выступает операция +), т.е. кольцо является абелевой группой относительно операции сложения, в нем выполняется: a + (b + c) = (a + b) + c – дистрибутивность сложения, a + b = b + a – коммутативность сложения, 0 + a = a, a + 0= a – есть единственный левый и правый нулевой элемент и эти элементы равны, a + (- a)=0 – каждому элементу найдется противоположный элемент;

2) условие (1) относительно операции умножения, т.е. кольцо является полугруппой относительно умножения, в нем выполняется a *(b * c)=(a * b)* c – ассоциативность умножения;

3) умножение слева и справа дистрибутивно относительно сложения a *(b + c)=(a * b) + (a * c) и (a + b)* c =(a * c) + (b * c).

Если к перечисленным условиям добавить условие a * b = b * a - коммутативность умножения, то алгебру A =< M,*,+> называют коммутативным кольцом.

Свойства колец:

• для кольца можно ввести операцию вычитания a - b = a + (- b), после этого нуль кольца может быть найден как a + (- a)= a - a =0;
• из закона дистрибутивности следует правило раскрытия скобок (a ₀ + a ₁ + a ₂ + … + a_n)* b = a ₀* b + a ₁* b + a ₂* b + … + a_n * b;
• во всяком кольце выполняется закон дистрибутивности и для разности (a - b)* c = a * c - b * c;
• произведение нуля кольца на любой элемент кольца равен нулю a *0= a *(x - x)= a * x - a * x =0, 0* a =(x - x)* a = a * x - a * x =0;
• для каждого кольца справедливо (- a)* b = - a * b, (- a)*(- b)= a * b.

Таким образом, операции в произвольном кольце обладают многими привычными свойствами арифметических операций над числами. Однако есть и отличия. Например, если арифметическое произведение равно 0, тогда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это свойство справедливо не для всех колец. В некоторых кольцах могут быть такие пары a ¹0, b ¹0, что a * b =0. Такие элементы a и b называются делителями нуля.

Полем называют коммутативное кольцо A =< M,*, + >, если оно содержит единицу, отличную от нуля, и ненулевые элементы образуют коммутативную (абелеву) группу относительно операции умножения.