double arrow
Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств

В разд.1.1.1 было дано понятие мощности конечного множества. Мощностью конечного множества называется число элементов данного множества. Бесконечные множества также могут быть классифицированы по мощности. Для этого потребуется понятие взаимно однозначного соответствия, введенное в разд.1.1.5.

Два бесконечных множества A и B называются равномощными (обозначение |A|=|B|), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Также для бесконечных множеств A и B, как и в случае конечных множеств, имеют смысл понятия больше (|A|>|B|) и меньше (|A|<|B|). |A|>|B| или A мощнее B, если A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны. |A|<|B| или B мощнее A, если B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Бесконечное множество называется счетным, если между его элементами и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Другими словами элементы счетного множества можно пронумеровать натуральными числами {1,2,3,...}.

Например, множество четных чисел является счетным. В данном случае соответствие между множеством натуральных чисел N={1,2,3,...} и множеством четных чисел C={2,4,6,...} устанавливается следующим образом ni=ci/2.

Счетные множества являются самыми «наименьшими» из бесконечных множеств, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество.

Некоторые свойства счетных множеств:

1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно




2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.

3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.

4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.

Несчётное множество это такое бесконечное множество, которое не является счётным.

Множество всех действительных чисел является несчетным. То есть множество вещественных чисел нельзя занумеровать или не существует взаимно однозначного соответствия между множествами вещественных и натуральных чисел.

Итак, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.






Сейчас читают про: