Импеданс излучения

Анализируемая модель представлена на рис. 3. Пьезоэлемент состоит из пьезослоя 2 и металлических обкладок 1 (наслоя) и 3 (подслоя). Последний находится в акустическом контакте со звукопроводом 4. Рассмотрим в соответствии с работой [7] наиболее важные в практическом отношении случаи преобразователей на основе пьезоэлектрика класса 6mm (например CdS, ZnO) с осью 6, перпендикулярной или параллельной поверхностям электродов. В первом случае возбуждаются чисто продольные упругие волны, а во втором- сдвиговые. Надслой, подслой и звукопровод будем считать изотропными или ориентированными продольной нормалью перпендикулярно торцу последнего. В противном случае преобразователь будет одновременно возбуждать квазипродольные и квазипоперечные волны. (Случай произвольной ориентации пьезоэлектрика рассмотрен в работе [8].) Полагая d/dx=d/dy =0, для непроводящего пьезоэлектрика из уравнения Пуассона получим dD/dz =0, где D - электрическое смещение. Это означает, что величина D не зависит от координаты z и может быть функцией только времени t. При выбранной ориентации уравнения состояния пьезоэлектрика сводятся к скалярным

где T и u - упругое напряжение и механическое смещение в пьезоэлектрике, C и e - упругая и пьезоконстанты, ε - диэлектрическая проницаемость, E - напряженность электрического поля. Если ось 6 пьезоэлектрика перпендикулярна (параллельна) торцу звукопровода, то физические константы в уравнениях (53) и (54), как показано в разделе 2.4, представляют собой следующие компоненты тензоров: e=e ₃₃₃ (=e ₁₁₃), ε=ε₃₃ (=ε₁₁), C = C ₃₃₃₃ (= C ₁₃₁₃). Импеданс пьезоэлемента в квазистатическом приближении определяется следующим образом:

где s - площадь подслоя. Если найти E из (54) и подставить в (55), то получим

Первый член в этом выражении представляет собой чисто реактивное сопротивление, определяемое статической емкостью C₀ =εs/h. Действительная часть второго члена является сопротивлением излучения R (ω), а мнимая - входит в реактивное сопротивление преобразователя как некоторая добавка, вызванная пьезоэффектом. Функция u(z,t) есть решение волнового уравнения (18) для пьезоэлектрика:

где u ₀₊ и u _0- - комплексные амплитуды, определяемые граничными условиями, β=ω(ρ/(C(K ² +1)))^1/2, ρ - плотность, K - коэффициент электромеханической связи. В случае нормальной ориентации пьезоэлектрика

а в случае тангенциальной -

Если исходить из непрерывности на границах двух сред механических смещений и упругих напряжений, то при z =0 и z =h должны быть равны акустические импедансы, определяемые формулой (38), найденные в пьезоэлектрике и в контактирующей с ним среде. Тогда для звукопровода, имеющего бесконечную длину, получим следующие граничные условия:

Формула (58) означает, что пьезоэлемент нагружен надслоем, как короткозамкнутым отрезком волновода, а последнее равенство выражает тот факт, что подслой является трансформатором сопротивления, включенным между бесконечно длинным звукопроводом с волновым сопротивлением Z ₀₄ и пьезоэлементом (см. формулу (44). Здесь Z ₀₁, Z ₀₃, Z ₀₄ - акустические волновые сопротивления соответственно надслоя, подслоя и звукопровода, β₁ и β₃ - волновые числа в первой и третьей среде (см рис. 3). Для того, чтобы выразить в (58) и (59) величину T при z = 0 и z =h через смещения u, воспользуемся следующим из (53) и (54)соотношением

Подставляя его совместно с (57) в (58) и (59), нетрудно получить два линейных алгебраических уравнениях, в которых неизвестными будут u ₀₊ u _0-. Решение этих уравнений и подстановка результатов в (57) и (56) приводят к аналитическому выражению для безразмерного активного сопротивления излучения

где
где v ₁, v ₂, v ₃ - скорости звука соответственно в надслое, пьезоэлектрике и подслое. Частота не входит в полученную формулу в явном виде и представлена в ней только безразмерной величиной βh. В этом смысле формула (61) имеет универсальный характер, а вычисленное по ней значение δ может быть отнесено к любой частоте.
Из выражения (56) находится также реактивная составляющая импеданса излучения. Формула для нее оказывается более громоздкой, чем (61), и здесь не приводится в связи с тем, что при использовании известных пьезоэлектриков и материалов подслоя и надслоя, реактивность преобразователя с достаточной для практики точностью определяется емкостным сопротивлением 1/ωC₀. Максимальное значение добавки, обусловленной пьезоэффектом, обычно не превышает 0,3/ωC₀, да и то это имеет место при значениях, соответствующих малым величинам R (ω). На рис. 4 а,б при p/h = 0,2 и 0,4 соответственно показана зависимость δ(βh), вычисленная по формуле (61), для преобразователя из ZnO с надслоем и подслоем из Al на кристалле Y₃Al₅O₁₂. Плоскость преобразователя перпендикулярна направлению [0001] в пьезоэлектрике и [111] в звукопроводе. Кривые 1-5 соответствуют g/h = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0. При вычислениях использовали физические константы для ZnO, Y₃Al₅O₁₂ и Al соответственно: скорость звука (10³ м/с) 6,1; 8,6; 6,32; акустические волновые сопротивления (10⁶ кг/м с) 34,4; 39,2; 17,1; диэлектрическую проницаемость и коэффициент электромеханической связи ZnO: 8,84 и 0,283. Из рис.4 следует, что изменение g/h слабо влияет на ход кривых, тогда как вариации p/h существенно изменяют их ход. Эти обстоятельства обуславливают более жесткие технологические требования к изготовлению надслоя, чем подслоя. Приведенные кривые для заданной частоты ω позволяют выбрать значение βh, соответствующее подходящей величине δ (например, максимуму на одной из кривых δ(βh)) и вычислить требуемую толщину h=(β ₀ h)v ₂/ v ₁, а затем и толщины p и g. Задавая площадь s, нетрудно вычислить емкостное сопротивление преобразователя:

и найти сопротивление излучения

Каждому значению βh на оси абсцисс можно привести в соответствие частоту f=(βh)v ₂/2 πh и, таким образом, для конкретного преобразователя при выбранной толщине h получить в явном виде зависимость R(f).