Построение модели AR (p)

Для оценивания параметров модели AR (p) можно применить один из вариантов оценивания: регрессия обычным МНК на , хотя некоторые свойства тестовых статистик будут искажены ввиду присутствия среди регрессоров лагов зависимой переменной;

Так как данный вид модели применяется только для стационарных временных рядов необходимо проверить гипотезу о наличии тенденции либо применить графический анализ.

По виду графика анализируемого временного ряда можно сделать вывод о его не стационарности (рисунок 8.6.1). Следовательно, для моделирования с помощью авторегрессионной модели ряд необходимо привести к стационарному виду. Для этого необходимо исключить тенденцию. Так как она близка к линейной, найдем отклонения от прямолинейного тренда и построим авторегрессионную модель для ряда остатков. Уравнение тренда имеет вид: .

Для выбора порядка авторегрессионной модели необходимо изучить поведение автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной (ЧАКФ) функций. Воспользуемся ППП STATISTICA. Стандартным образом запустите модуль «Временные ряды и прогнозирование». В этом модуле выбираем «АРПСС и автокорреляционные функции».

В появившемся окне выбираем вкладку «Автокорреляции». Для получения АКФ нажимаем «Автокорреляции», а для ЧАКФ – «Частные автокорреляции» (рисунок 8.6.4). По умолчанию расчет производится до 15 лага с уровнем надежности 0,05 (данные значения исследователь может задать самостоятельно, так в нашем случае зададим максимальное число лагов 18).

Рисунок 8.6.4 - Построение АКФ и ЧАКФ

Как видно на рисунках 8.6.5 и 8.6.6, АКФ и ЧАКФ экспоненциально затухает, меняя знак. Следовательно, можно предположить, что для описания временного ряда целесообразно применить модель авторегрессии со скользящими средними в остатках 1 порядка ARMA (1,1).

Вместе с тем рассмотрим построение различных моделей и выберем наилучшую из них.

Рисунок 8.6.5 - Автокорреляционная функция временного ряда доходов бюджета

Построение модели AR (1): .

Параметры данной модели определим с помощью МНК, используя функцию ППП Excel Сервис – Анализ данных - Регрессия. «Входной интервал Y» - выделяем столбец _,, «Входной интервал X» - выделяем столбец (исходные данные для построения модели представлены в таблице 8.6.9). Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 8.6.10.

Рисунок 8.6.6 - Частная автокорреляционная функция доходов бюджета

Таким образом, нами получена модель AR(1): . Так как случайный компонент может быть выражен как , то подставив это выражение в модель AR (1) получим:

В результате соответствующих преобразований получим следующую модель доходов бюджета:

Расчетные значения по модели представлены в таблице 8.6.9 и на рисунке 8.6.7. Средняя относительная ошибка аппроксимации полученной модели составила 23,77 %. Что свидетельствует об удовлетворительном качестве модели.

Таблица 8.6.9 - Исходные и расчетные данные для построения AR(1) – модели доходов бюджета Оренбургской области (млн. руб.)

Период	Доход, млн.руб.	t		-	Исходные данные для оценивания параметров
	январь	1119,3		620,8	498,5	-303,13	498,5	-	-
февраль	352,2		655,3	-303,1	317,035	-303,1	549,76	0,56093
март	1006,9		689,9	317,0	453,4	317,0	602,781	0,40135
апрель	1177,8		724,4	453,4	325,465	453,4	637,98	0,45833
май	1084,4		758,9	325,5	97,93	325,5	672,538	0,37981
июнь	891,4		793,5	97,9	100,195	97,9	707,074	0,20678
июль	928,2		828,0	100,2	315,86	100,2	741,609	0,20102
август	1178,4		862,5	315,9	92,325	315,9	776,144	0,34136
сентябрь	989,4		897,1	92,3	0,59	92,3	810,68	0,18064
октябрь	932,2		931,6	0,6	114,255	0,6	845,215	0,09331
ноябрь	1080,4		966,1	114,3	242,82	114,3	879,75	0,18572
декабрь	1243,5		1000,7	242,8	-169,72	242,8	914,285	0,26475
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
	январь			2692,9	-1119,9	-1205,9	-1119,9	2606,5	0,65703
февраль	1521,5		2727,4	-1205,9	453,235	-1205,9	2641,04	0,73581
март	3215,2		2762,0	453,2		453,2	2675,57	0,16784
апрель	2872,5		2796,5	76,0	961,365	76,0	2710,11	0,05653
май	3792,4		2831,0	961,4	-143,87	961,4	2744,64	0,27628

Продолжение таблицы 8.6.9

	июнь	2721,7		2865,6	-143,9	197,095	-143,9	2779,18	0,02112
июль	3097,2		2900,1	197,1	1294,56	197,1	2813,71	0,09153
август	4229,2		2934,6	1294,6	-849,58	1294,6	2848,25	0,32653
сентябрь	2119,6		2969,2	-849,6	752,79	-849,6	2882,78	0,36006
октябрь	3756,5		3003,7	752,8	377,855	752,8	2917,32	0,22339
ноябрь	3416,1		3038,2	377,9	405,92	377,9	2951,85	0,1359
декабрь	3478,7		3072,8	405,9	-	-	2986,39	0,14152
Итого	132968,7	-	-	-	-	-	-	16,8796
В среднем	1846,7875	-	-	-	-	-	-	23,7741

Рисунок 8.6.7 - Теоретические значения по авторегрессионной модели

Таблица 8.6.10 - Результаты оценивания модели AR (1) МНК

Регрессионная статистика
Множественный R	0,0359
R-квадрат	0,0013
Нормированный R-квадрат	-0,01299
Стандартная ошибка	535,77
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		26008,11	26008,11	0,0906	0,7643
Остаток			287055,2
Итого

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
		-	-	-	-	-
	0,03588	0,1192	0,3010	0,7643	-0,2018	0,2736

Прогнозирование значений на период (t+l) по авторегрессионной модели производят следующим образом.

Сначала вычисляют значение по формуле

Затем в модель подставляют вычисленное значение и определяют величину и т.д.

Спрогнозируем доходы бюджета на январь и февраль 2007г.

Точечный прогноз на январь составит:

млн.р.,

на февраль 2007 г.: млн.р.

Интервальный прогноз определяется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:

.

Табличное значение t- критерия Стьюдента: t(0,05; 69)= 1,995

Тогда доверительные границы прогноза на январь составят: , т.е. с вероятностью 95 % в январе 2007 года доходы бюджета будут находиться в пределах от 1988,27 до 4120,18 млн.р. В феврале 2007 г. доходы бюджета с заданной вероятностью могут составить от 2024 млн. р. до 4155,9 млн.р.