Применение степенных рядов к приближенным вычислениям

Используя разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена, можно приближенно вычислять, например, значения функций и приближенные значения определенных интегралов.

Напомним, что рядом Тейлора для функции , если функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке конечные производные, является степенной ряд:

Чтобы функция была суммой этого ряда для значений x из некоторого промежутка, необходимо и достаточно, чтобы , где остаточный член ряда.

Если в ряде Тейлора положить , то получим ряд Маклорена:

Обычно в задачах на приближенные вычисления используются ряды Маклорена для следующих функций:

, область сходимости этого степенного ряда к своей функции - (-∞; +∞).

Области сходимости последних двух рядов также (-∞; +∞).

Можно показать, что область сходимости последних двух рядов .

При , из последней формулы получим:

Если же x заменить на (-x) то получим формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пример: вычислить приближенно , взяв три члена разложения; оценить погрешность вычислений.

Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции , положив .

Погрешность вычислений:

Если в задаче указано число членов разложения, то погрешностью вычислений будет первый отбрасываемый член разложения, в данном случае, - четвертый.

Пример: вычислить с точностью до .

Воспользуемся разложением функции в ряд, предварительно переведя один градус в радианную меру

Оценим каждое слагаемое, начиная со второго. Как только слагаемое будет меньше заданной точности, оно в приближенную сумму не будет входить.

следовательно,

Пример: вычислить приближенно определенный интеграл с точностью .

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд

В нашем случае , вместо x подставляя , получим:

Вместо заданной подынтегральной функции будем интегрировать в заданных пределах степенной ряд. Отбрасывая третий и последующие члены ряда, после подстановки пределов интегрирования, получим: