П.8. Ряды Тейлора и Маклорена

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд

.

(18)

При этом говорят, что ряд Тейлора построен для в точке .

Остаток ряда Тейлора может быть записан в форме Лагранжа:

, .

Если функция бесконечно дифференцируема в некоторой области и при этом в этой области выполняется условие

,

то ряд (17) в данной области сходится к функции , т.е. справедливо равенство

.

Частный случай ряда Тейлора при называется рядом Маклорена. Остаток ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид:

, ,

а разложение функции в ряд Маклорена, при условии , выглядит следующим образом:

.

Если , то ряд Тейлора (Маклорена), даже если он сходится, имеет сумму, отличную от .

Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций, представленные ниже вместе с их областями сходимости, полезно запомнить для их применения при разложении других, более сложных функций.

.

.

.

.

Последний ряд называется биномиальным, т.к. функция, для которой построен этот ряд, представляет собой бином (двучлен) произвольной степени . Гарантированная область сходимости биномиального ряда указана для любых значений ; для некоторых значений она может быть расширена в ту или другую сторону (или в обе) включением в нее границы интервала.

Частные случаи биномиального ряда выглядят следующим образом:

.

.

Из первого частного случая могут быть получены ряды еще для двух часто встречающихся в практических задачах функций:

;

.