2015-04-08
772
Ряд называется знакочередующимся, если два любых соседних члена ряда имеют противоположные знаки. Знакочередующиеся ряды могут сходиться абсолютно или условно.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится если:
А) модули членов числового ряда являются действительными числами и составляют монотонно убывающую последовательность;
Чтобы ряд сходился абсолютно, необходимо выполнение условий признака Лейбница и, кроме того, ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда должен быть сходящимся. Если выполняется признак Лейбница, но не выполняются условия абсолютной сходимости, то говорят, что ряд сходится условно.
Пример: исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, если общий член ряда
Начнем исследование числового ряда на сходимость с признака Лейбница.
последовательность модулей членов ряда монотонно убывающая, общий член ряда при n→∞ стремится к нулю, следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Проверим ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим знакопостоянный числовой ряд, составленный из модулей
для знакопостоянных числовых рядов. Сравним общий член данного ряда с
|
|
|
Следовательно, числовой ряд, составленный из модулей членов данного ряда, также расходится. А так как признак Лейбница выполняется, следовательно, заданный для исследования ряд сходится условно.
сходимость.
По признаку Лейбница ряд сходится, так как 
а знаменатель при 
, стремится к бесконечности, т.е.
Ряд, составленный из модулей членов ряда
Т.е. исходный ряд сходится абсолютно.
Пример: исследовать знакопеременный числовой ряд
Пример: исследовать знакочередующийся числовой ряд
(предел находили по правилу Лопиталя). Исследуем на сходимость ряд из модулей членов числового ряда по интегральному признаку Коши.
Рассмотрим неопределенный интеграл, сделав соответствующую замену переменной, а результат интегрирования подставим в несобственный интеграл.
из модулей членов исходного ряда, расходится, т.е. заданный ряд сходится условно.
